放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ と点 $(-2, -4)$ における $C$ の接線、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ と点 $(-2, -4)$ における $C$ の接線、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $(-2, -4)$ における接線を求めます。

放物線 $C$ の導関数は $y' = x + 3$ です。

点 $(-2, -4)$ における傾きは $y'(-2) = -2 + 3 = 1$ です。

よって、接線の方程式は $y - (-4) = 1(x - (-2))$ となり、$y + 4 = x + 2$、すなわち $y = x - 2$ となります。

次に、接線 $y = x - 2$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$x - 2 = 0$ より、$x = 2$ です。

最後に、求める面積 $S$ は、接線 $y = x - 2$ と $x$ 軸との交点である $x = 2$ から、$y = x - 2$ と $y = 0$ の交点の$x$座標までの定積分を計算することで求められます。ただし、$x$軸より下の部分なので、積分結果に負号を掛けます。

面積$S$は、

$S = - \int_2^a (x-2) dx$

ここで、$a$は$x-2 = 0$となるような$x$の値です。

よって、$x-2=0$より、$x=2$ですから、$a=2$です。

この問題では、接線とx軸で囲まれた面積を求める必要があるので、$x=2$を積分の上端として考えることができます。

積分を実行すると、

$S = - [\frac{1}{2}x^2 - 2x]_2^a = -\left(\frac{1}{2}a^2 - 2a - (\frac{1}{2}(2)^2 - 2(2))\right)$

となります。

接線とx軸との交点(2,0)と問題文の点(-2,-4)のx座標(-2)を積分区間とする必要があるので、以下の積分計算を行います。

$S = -\int_{-2}^{2}(x-2)dx = -\left[\frac{1}{2}x^2 - 2x\right]_{-2}^{2} = -\left[(2-4)-(2+4)\right] = -(-2-6) = -(-8) = 8$

したがって、面積$S$は$8$となります。

3. 最終的な答え

$S = 8$