数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ が $a_1 = 5$, $b_1 = 7$ を満たし、すべての実数 $x$ とすべての自然数 $n$ に対して、 $x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt$ を満たすとする。以下の問いに答えよ。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) $c_n = 3^{n-1}$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) $c_n = n$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ が $a_1 = 5$, $b_1 = 7$ を満たし、すべての実数 $x$ とすべての自然数 $n$ に対して、

$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt$

を満たすとする。以下の問いに答えよ。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) $c_n = 3^{n-1}$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) $c_n = n$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式 $x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt$ を $x$ で微分する。

左辺を $x$ で微分すると、

$2a_{n+1}x + b_{n+1}$

右辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx}\int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt = a_n(x+c_n) + b_n$

したがって、

$2a_{n+1}x + b_{n+1} = a_n(x+c_n) + b_n = a_n x + a_n c_n + b_n$

これがすべての実数 $x$ について成り立つので、$x$ の係数と定数項を比較して、

$2a_{n+1} = a_n$

$b_{n+1} = a_n c_n + b_n$

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n$ より、数列 $\{a_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。$a_1 = 5$ より、

$a_n = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

(2)

$c_n = 3^{n-1}$ のとき、$b_{n+1} = a_n c_n + b_n$ に $a_n = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ を代入すると、

$b_{n+1} = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} 3^{n-1} + b_n = 5 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} + b_n$

$b_{n+1} - b_n = 5 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

$n \geq 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5 \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1} = 7 + 5 \sum_{k=0}^{n-2} \left(\frac{3}{2}\right)^{k} = 7 + 5 \frac{1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}}{1 - \frac{3}{2}} = 7 + 5 \frac{1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}}{-\frac{1}{2}} = 7 - 10 \left(1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\right) = 7 - 10 + 10 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 10 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 3$

$n=1$ のとき、$b_1 = 10 \left(\frac{3}{2}\right)^{0} - 3 = 10 - 3 = 7$ となり、この式は $n=1$ のときも成り立つ。

したがって、$b_n = 10 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 3$

(3)

$c_n = n$ のとき、$b_{n+1} = a_n c_n + b_n$ に $a_n = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ を代入すると、

$b_{n+1} = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} n + b_n$

$b_{n+1} - b_n = 5n \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$n \geq 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5k \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 7 + 5 \sum_{k=1}^{n-1} k \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$

$S = \sum_{k=1}^{n-1} k \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 1 + 2 \left(\frac{1}{2}\right) + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cdots + (n-1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

$\frac{1}{2} S = \frac{1}{2} + 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cdots + (n-2) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} + (n-1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$S - \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} S = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} - (n-1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1 - \frac{1}{2}} - (n-1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) - (n-1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2 - (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$S = 4 - (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

$b_n = 7 + 5 \left(4 - (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right) = 7 + 20 - 5(n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} = 27 - 5(n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

$n=1$ のとき、$b_1 = 27 - 5(2)(\frac{1}{2})^{-1} = 27 - 20 = 7$ となり、この式は $n=1$ のときも成り立つ。

したがって、$b_n = 27 - 5(n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

(2) $b_n = 10 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 3$

(3) $b_n = 27 - 5(n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$