数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$があり、$a_1 = 5$, $b_1 = 7$を満たし、すべての実数$x$とすべての自然数$n$に対して、 $x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt$ を満たす。 (1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。 (2) $c_n = 3^{n-1}$のとき、数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。 (3) $c_n = n$のとき、数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$があり、$a_1 = 5$, $b_1 = 7$を満たし、すべての実数$x$とすべての自然数$n$に対して、

$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt$

を満たす。

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

(2) $c_n = 3^{n-1}$のとき、数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。

(3) $c_n = n$のとき、数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず与えられた積分を計算します。

$\int_{c_n}^{x+c_n} (a_n t + b_n) dt = [\frac{1}{2}a_n t^2 + b_n t]_{c_n}^{x+c_n} = \frac{1}{2}a_n(x+c_n)^2 + b_n(x+c_n) - \frac{1}{2}a_n c_n^2 - b_n c_n$

$= \frac{1}{2}a_n(x^2 + 2xc_n + c_n^2) + b_n x + b_n c_n - \frac{1}{2}a_n c_n^2 - b_n c_n = \frac{1}{2}a_n x^2 + a_n c_n x + b_n x$

$= \frac{1}{2} a_n x^2 + (a_n c_n + b_n) x$

したがって、

$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \frac{1}{2} a_n x^2 + (a_n c_n + b_n) x$

これが任意の$x$に対して成り立つので、係数を比較して、

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n$

$b_{n+1} = a_n c_n + b_n$

(1) $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n$ より、$\{a_n\}$は公比$\frac{1}{2}$の等比数列である。

$a_1 = 5$より、

$a_n = 5(\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{5}{2^{n-1}}$

(2) $c_n = 3^{n-1}$のとき

$b_{n+1} = a_n c_n + b_n$ より

$b_{n+1} = \frac{5}{2^{n-1}} \cdot 3^{n-1} + b_n = 5(\frac{3}{2})^{n-1} + b_n$

$b_{n+1} - b_n = 5(\frac{3}{2})^{n-1}$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5(\frac{3}{2})^{k-1} = 7 + 5\sum_{k=0}^{n-2} (\frac{3}{2})^k = 7 + 5 \frac{1-(\frac{3}{2})^{n-1}}{1-\frac{3}{2}} = 7 + 5 \frac{1-(\frac{3}{2})^{n-1}}{-\frac{1}{2}} = 7 - 10(1-(\frac{3}{2})^{n-1}) = 7 - 10 + 10(\frac{3}{2})^{n-1} = 10(\frac{3}{2})^{n-1} - 3$

$b_n = 10(\frac{3}{2})^{n-1} - 3$

(3) $c_n = n$のとき

$b_{n+1} = a_n c_n + b_n = \frac{5}{2^{n-1}} n + b_n$

$b_{n+1} - b_n = \frac{5n}{2^{n-1}}$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{5k}{2^{k-1}} = 7 + 5\sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{k-1}}$

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{k-1}} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \dots + \frac{n-1}{2^{n-2}}$

$\frac{1}{2} S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n-1}{2^{n-1}}$

$S - \frac{1}{2} S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-2}} - \frac{n-1}{2^{n-1}}$

$\frac{1}{2} S = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{n-1}}{1-\frac{1}{2}} - \frac{n-1}{2^{n-1}} = 2(1-(\frac{1}{2})^{n-1}) - \frac{n-1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{2}{2^{n-1}} - \frac{n-1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$

$S = 4 - \frac{n+1}{2^{n-2}}$

$b_n = 7 + 5(4 - \frac{n+1}{2^{n-2}}) = 7 + 20 - \frac{5(n+1)}{2^{n-2}} = 27 - \frac{5(n+1)}{2^{n-2}}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{5}{2^{n-1}}$

(2) $b_n = 10(\frac{3}{2})^{n-1} - 3$

(3) $b_n = 27 - \frac{5(n+1)}{2^{n-2}}$