問題は以下の2つです。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 4$ (2) $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+3} + b}{x+2} = 1$ これらの極限値が存在するための $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 4$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+3} + b}{x+2} = 1$

これらの極限値が存在するための $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) について：

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1}$ が存在するためには、$x=1$ のときに分子が 0 にならなければなりません。したがって、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$b = -a - 1$

これを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax -a - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + a + 1) = 1 + a + 1 = a + 2$

この極限値が 4 であることから、$a + 2 = 4$。

したがって、$a = 2$。

$b = -a - 1 = -2 - 1 = -3$

(2) について：

極限 $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+3} + b}{x+2} = 1$ について、$x \to 2$ のとき、分母は $2+2=4$ に近づきます。したがって、分子も $x \to 2$ で 0 に近づく必要はありません。しかし、ここでは(1)とは別の問題なので、それぞれ求める必要があります。

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+3} + b}{x+2} = 1$

この問題に誤りがあると仮定し、$x \to -2$ の時分母が0になるので、分子も0になるとすると、

$a\sqrt{-2+3} + b = 0$

$a + b = 0$

$b = -a$

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+3} - a}{x+2} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+3} - 1)}{x+2} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+3} - 1)(\sqrt{x+3} + 1)}{(x+2)(\sqrt{x+3} + 1)} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(x+3 - 1)}{(x+2)(\sqrt{x+3} + 1)} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(x+2)}{(x+2)(\sqrt{x+3} + 1)} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a}{\sqrt{x+3} + 1} = 1$

$\frac{a}{\sqrt{2+3} + 1} = \frac{a}{\sqrt{5} + 1} = 1$

$a = \sqrt{5} + 1$

$b = -(\sqrt{5} + 1)$

もし、分母が x+2 ではなく、x-2であった場合、

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+3} + b}{x-2} = 1$

$x \to 2$の時に分母は0になるため、分子も0になる必要がある。

$a\sqrt{2+3} + b = 0$

$a\sqrt{5} + b = 0$

$b = -a\sqrt{5}$

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+3} - a\sqrt{5}}{x-2} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+3} - \sqrt{5})}{x-2} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+3} - \sqrt{5})(\sqrt{x+3} + \sqrt{5})}{(x-2)(\sqrt{x+3} + \sqrt{5})} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(x+3 - 5)}{(x-2)(\sqrt{x+3} + \sqrt{5})} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x+3} + \sqrt{5})} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{a}{\sqrt{x+3} + \sqrt{5}} = 1$

$\frac{a}{\sqrt{2+3} + \sqrt{5}} = 1$

$\frac{a}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = 1$

$\frac{a}{2\sqrt{5}} = 1$

$a = 2\sqrt{5}$

$b = -a\sqrt{5} = -(2\sqrt{5})\sqrt{5} = -10$

3. 最終的な答え

(1) の場合： $a = 2$, $b = -3$

(2) の場合：$a = \sqrt{5} + 1$, $b = -(\sqrt{5} + 1)$　（もし分母が x+2 の場合）

(2) の場合：$a = 2\sqrt{5}$, $b = -10$ （もし分母が x-2 の場合）