定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数 $\frac{1}{x^2+1}$ の不定積分は $\arctan(x)$ です。したがって、定積分は次のように計算できます。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan(x)]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1)$

$\arctan(1)$ は $\frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(-1)$ は $-\frac{\pi}{4}$ であるため、

$\arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$