定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{x^2+1}$ の原始関数は $\arctan(x)$ であることを利用します。

定積分の定義より、

$$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan(x)]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1)$$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ なので、

$$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1} = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$