次の定積分を計算します。 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

$\frac{1}{x^2+1}$ の不定積分は $\arctan(x)$ であることを利用します。

したがって、

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1} = \arctan(x) \Big|_{-1}^{1}$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ であるため、

$\arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$