与えられた定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$ を計算します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2+1}$ の不定積分を求めます。これは $\arctan(x)$ であることが知られています。

$\int \frac{1}{x^2+1}dx = \arctan(x) + C$

次に、定積分の定義に従って、積分範囲の両端で $\arctan(x)$ の値を計算し、その差を求めます。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1} = \arctan(1) - \arctan(-1)$

$\arctan(1)$ は $\frac{\pi}{4}$ に等しく、$\arctan(-1)$ は $-\frac{\pi}{4}$ に等しいです。

したがって、

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$

$= \frac{2\pi}{4}$

$= \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$