放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ と、点 $(-2, -4)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ と、点 $(-2, -4)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C$ 上の点 $(-2, -4)$ における接線 $l$ の方程式を求めます。

$y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ を $x$ で微分すると、

$y' = x + 3$

点 $(-2, -4)$ における接線の傾きは、$x = -2$ を代入して $y' = -2 + 3 = 1$ となります。

したがって、接線 $l$ の方程式は、$y - (-4) = 1(x - (-2))$ より、

$y + 4 = x + 2$

$y = x - 2$

次に、接線 $l$ と $x$ 軸との交点を求めます。$y = x - 2$ に $y = 0$ を代入すると、$x - 2 = 0$ より、$x = 2$ となります。したがって、接線 $l$ と $x$ 軸との交点は $(2, 0)$ です。

次に、放物線 $C$ と $x$ 軸との交点を求めます。$\frac{1}{2}x^2 + 3x = 0$ より、$x^2 + 6x = 0$ となり、$x(x + 6) = 0$ となるので、$x = 0, -6$ となります。したがって、放物線 $C$ と $x$ 軸との交点は $(0, 0)$ と $(-6, 0)$ です。

求める面積 $S$ は、放物線 $C$ と $x$ 軸および接線 $l$ で囲まれた部分の面積です。この面積を求めるには、積分を使って計算します。

面積 $S$ は、$\int_{-6}^{0} |\frac{1}{2}x^2 + 3x| dx - \int_{-2}^{2} |x-2| dx$ で計算できます。

$S_1 = \int_{-6}^0 (\frac{1}{2}x^2 + 3x) dx = [\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{-6}^0 = 0 - (\frac{1}{6}(-6)^3 + \frac{3}{2}(-6)^2) = 0 - (-36+54) = -18$. よって, $|S_1| = 18$.

$S_2 = \int_{-2}^2 (2-x) dx = [2x-\frac{1}{2}x^2]_{-2}^2 = (4-2) - (-4-2) = 2 - (-6) = 8$.

よって求める面積 $S$ は $18 - 8 = 10$ となります。

3. 最終的な答え

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