3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ で表される曲線 $C: y = f(x)$ と、点 $(0, 0)$ における曲線 $C$ の接線 $l$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ で表される曲線 $C: y = f(x)$ と、点 $(0, 0)$ における曲線 $C$ の接線 $l$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線 $l$ の方程式を求める。

まず、関数 $f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

次に、点 $(0, 0)$ における接線の傾きを求める。

$f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 2 = 2$

したがって、接線 $l$ の方程式は $y = 2x$ となる。

ステップ2: 曲線 $C$ と接線 $l$ の交点を求める。

$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x$

$x^3 - 3x^2 = 0$

$x^2(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

したがって、交点の $x$ 座標は $0$ と $3$ である。

ステップ3: 囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

面積 $S$ は、曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた部分の積分で求められる。$0 \leq x \leq 3$ の範囲において、$y = 2x$ が $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ より上にあるので、積分は以下のようになる。

$S = \int_0^3 [2x - (x^3 - 3x^2 + 2x)] dx$

$S = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx$

$S = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3]_0^3$

$S = (-\frac{1}{4}(3)^4 + (3)^3) - (-\frac{1}{4}(0)^4 + (0)^3)$

$S = -\frac{81}{4} + 27$

$S = -\frac{81}{4} + \frac{108}{4}$

$S = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$