放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C$ 上の点 $(2, 2)$ における接線 $l$ の方程式を求める。

$y = -x^2 + 3x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -2x + 3$

$x = 2$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -2(2) + 3 = -1$

よって、接線 $l$ の傾きは $-1$ である。

点 $(2, 2)$ を通り、傾きが $-1$ の直線の方程式は、

$y - 2 = -1(x - 2)$

$y = -x + 4$

したがって、接線 $l$ の方程式は $y = -x + 4$ である。

次に、放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ と $x$ 軸との交点を求める。

$-x^2 + 3x = 0$

$x(-x + 3) = 0$

$x = 0, 3$

よって、放物線 $C$ は $x = 0$ と $x = 3$ で $x$ 軸と交わる。

次に、接線 $l: y = -x + 4$ と $x$ 軸との交点を求める。

$-x + 4 = 0$

$x = 4$

よって、接線 $l$ は $x = 4$ で $x$ 軸と交わる。

求める面積 $S$ は、放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれる領域の $x = 2$ から $x = 3$ までの積分から、接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる領域の $x = 2$ から $x = 4$ までの積分を引いたものとして計算する。しかし、放物線と接線で囲まれた領域とx軸で囲まれる領域の面積を求めればよい。

$S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 3x) dx - \int_{2}^{4} (-x + 4) dx$

$S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 3x) dx - \int_{2}^{4} (-x + 4) dx$

$S = [\frac{-x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_2^3 - [\frac{-x^2}{2} + 4x]_2^4$

$S = [(\frac{-27}{3} + \frac{27}{2}) - (\frac{-8}{3} + \frac{12}{2})] - [(\frac{-16}{2} + 16) - (\frac{-4}{2} + 8)]$

$S = (-9 + \frac{27}{2} + \frac{8}{3} - 6) - (-8 + 16 + 2 - 8)$

$S = (\frac{-54 + 81 + 16 - 36}{6}) - (2)$

$S = \frac{7}{6} - 2$

$S = \frac{7-12}{6}$

$S = \frac{-5}{6}$

面積なので正の値をとる。積分範囲を間違えた可能性がある。

正しくは、

放物線と接線で囲まれる領域を求める。

$-x^2+3x = -x+4$

$x^2-4x+4 = 0$

$(x-2)^2=0$

$x=2$

求める領域は、

$S = \int_2^3 (-x^2+3x - (-x+4)) dx = \int_2^3 (-x^2+4x-4) dx$

$S = [-\frac{x^3}{3}+2x^2-4x]_2^3$

$S = (-\frac{27}{3}+2(9)-4(3)) - (-\frac{8}{3}+2(4)-4(2))$

$S = (-9+18-12) - (-\frac{8}{3}+8-8)$

$S = -3 + \frac{8}{3} = \frac{-9+8}{3} = \frac{-1}{3}$

絶対値をとるので $\frac{1}{3}$

$S = \int_2^3 ((-x+4)-(-x^2+3x))dx = \int_2^3(x^2-4x+4)dx = [\frac{x^3}{3}-2x^2+4x]_2^3 = (\frac{27}{3}-2(9)+4(3))-(\frac{8}{3}-2(4)+4(2)) = (9-18+12)-(\frac{8}{3}-8+8) = 3-\frac{8}{3} = \frac{9-8}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$