与えられた関数 $f(x) = (\log x)^2 + 2 \log x + 3$ に関して、以下の問いに答える問題です。 (a) 関数 $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。 (b) 曲線 $C$ の変曲点の座標を求めます。 (c) 直線 $y = \text{ツ}$ と曲線 $C$ で囲まれた図形の面積を求めます。 (d) 曲線 $C$ の接線で、点 $(0, a)$ を通るものがちょうど1本あるときの $a$ の値を求めます。 (e) 曲線 $C$ の2本の接線が点 $(0, b)$ で垂直に交わるときの $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = (\log x)^2 + 2 \log x + 3$ に関して、以下の問いに答える問題です。

(a) 関数 $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

(b) 曲線 $C$ の変曲点の座標を求めます。

(c) 直線 $y = \text{ツ}$ と曲線 $C$ で囲まれた図形の面積を求めます。

(d) 曲線 $C$ の接線で、点 $(0, a)$ を通るものがちょうど1本あるときの $a$ の値を求めます。

(e) 曲線 $C$ の2本の接線が点 $(0, b)$ で垂直に交わるときの $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(a) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (\log x)^2 + 2 \log x + 3 = (\log x + 1)^2 + 2$

$(\log x + 1)^2 \ge 0$ より、 $f(x)$ は $\log x = -1$ のとき最小値 $2$ をとります。

$\log x = -1$ より、$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ です。

(b) 変曲点を求めるために、$f(x)$ を2回微分します。

$f'(x) = \frac{2(\log x + 1)}{x}$

$f''(x) = \frac{2\cdot \frac{1}{x} \cdot x - 2(\log x + 1)}{x^2} = \frac{2 - 2(\log x + 1)}{x^2} = \frac{-2\log x}{x^2}$

$f''(x) = 0$ となるのは、$\log x = 0$ のときなので、$x = 1$ です。

$x<1$ のとき $f''(x)>0$, $x>1$ のとき $f''(x)<0$なので、$x=1$ で変曲点を持つ。

$x=1$ のとき、$f(1) = (\log 1)^2 + 2\log 1 + 3 = 0^2 + 2(0) + 3 = 3$

よって変曲点の座標は $(1, 3)$ です。

(c) 直線 $y = 3$ と曲線 $C$ で囲まれた図形の面積を求めます。

$f(x) = (\log x + 1)^2 + 2$ なので、$y=3$ となるのは $(\log x + 1)^2 + 2 = 3$, $(\log x + 1)^2 = 1$, $\log x + 1 = \pm 1$ です。

$\log x + 1 = 1$ のとき $\log x = 0$ なので $x=1$。

$\log x + 1 = -1$ のとき $\log x = -2$ なので $x=e^{-2}$。

よって積分範囲は $[e^{-2}, 1]$ です。

面積 $S = \int_{e^{-2}}^1 (3 - (\log x)^2 - 2\log x - 3) dx = \int_{e^{-2}}^1 (-(\log x)^2 - 2\log x) dx$

$I = \int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx = x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) = x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x$

$J = \int \log x dx = x\log x - x$

$S = [-x(\log x)^2 + 2x\log x - 2x - 2x\log x + 2x]_{e^{-2}}^1 = [-x(\log x)^2]_{e^{-2}}^1$

$= 0 - (-e^{-2} (-2)^2) = 4e^{-2}$

(d) 曲線 $C$ の接線の方程式は、$y - f(t) = f'(t)(x-t)$ で、$f(t) = (\log t + 1)^2 + 2$、$f'(t) = \frac{2(\log t + 1)}{t}$

これが $(0, a)$ を通るので、$a - (\log t + 1)^2 - 2 = \frac{2(\log t + 1)}{t} (-t)$

$a - (\log t + 1)^2 - 2 = -2(\log t + 1)$

$a = (\log t + 1)^2 - 2\log t$

$a = (\log t)^2 + 1$

$g(t) = (\log t)^2 + 1$とおくと、$g'(t) = \frac{2 \log t}{t}=0$, $\log t = 0$, $t=1$。

$t < 1$ のとき、$g'(t) < 0$, $t>1$ のとき $g'(t) > 0$より、$t=1$ で最小値 $g(1) = 1$。

$a$ は $y = (\log t)^2+1$ が接線となるような $a$ である必要があるので $a = 1$.

(e) 2本の接線の傾きが $\frac{2(\log t_1 + 1)}{t_1}$ と $\frac{2(\log t_2 + 1)}{t_2}$ で、これらが垂直に交わるので $\frac{2(\log t_1 + 1)}{t_1} \cdot \frac{2(\log t_2 + 1)}{t_2} = -1$.

$4(\log t_1 + 1)(\log t_2 + 1) = - t_1t_2$

$b= (\log t + 1)^2 -2 \log t$

3. 最終的な答え

(a) 最小値: 2, x: $\frac{1}{e}$

(b) 変曲点の座標: (1, 3)

(c) 面積: $4e^{-2}$

(d) aの値: 1

(e) bの値: ナ