放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ と、点(2, 2)における $C$ の接線 $l: y = 2x - 2$、および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ と、点(2, 2)における $C$ の接線 $l: y = 2x - 2$、および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $y = 2x - 2$ の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x^2 = 2x - 2$

$x^2 = 4x - 4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

よって、交点は $(2, 2)$ のみであり、直線は放物線に接していることがわかります。

$y$ 軸、$y = \frac{1}{2}x^2$ および $y = 2x - 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ は、積分を使って計算できます。

$S = \int_0^2 (\frac{1}{2}x^2 - (2x - 2)) dx$

$S = \int_0^2 (\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2) dx$

$S = [\frac{1}{6}x^3 - x^2 + 2x]_0^2$

$S = (\frac{1}{6}(2)^3 - (2)^2 + 2(2)) - (\frac{1}{6}(0)^3 - (0)^2 + 2(0))$

$S = \frac{8}{6} - 4 + 4$

$S = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$