放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線 $l$ の方程式を求めます。

放物線 $C$ の式を $y = f(x) = -x^2 + 4x$ とおくと、$f'(x) = -2x + 4$ となります。

点 $(1, 3)$ における接線の傾きは、$f'(1) = -2(1) + 4 = 2$ です。

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

となります。

ステップ2: 接線 $l$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求めます。

接線 $l$ の方程式は $y = 2x + 1$ なので、$y = 0$ とおくと、

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

となります。したがって、接線 $l$ と $x$ 軸の交点は $(-\frac{1}{2}, 0)$ です。

ステップ3: 囲まれた図形の面積 $S$ を計算します。

接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた図形は三角形であり、底辺の長さは $\frac{1}{2}$ (原点から $-\frac{1}{2}$ までの距離) で、高さは $y$ 切片である $1$ です。

したがって、三角形の面積は、

$S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$