放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l: y = 2x - 2$、および直線 $x = 5$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l: y = 2x - 2$、および直線 $x = 5$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を確認します。放物線と接線は $x = 2$ で交わっており、$x=5$ が積分の上限となります。したがって、積分範囲は $2 \le x \le 5$ です。

次に、積分する関数を決定します。$x$ が積分範囲にあるとき、$2 \le x \le 5$ では、接線 $y = 2x - 2$ が放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ よりも上にあります。

したがって、面積 $S$ は次の積分で求めることができます。

$S = \int_2^5 (2x - 2 - \frac{1}{2}x^2) dx$

積分を実行します。

$S = \int_2^5 (2x - 2 - \frac{1}{2}x^2) dx = [x^2 - 2x - \frac{1}{6}x^3]_2^5$

$S = (5^2 - 2(5) - \frac{1}{6}(5^3)) - (2^2 - 2(2) - \frac{1}{6}(2^3))$

$S = (25 - 10 - \frac{125}{6}) - (4 - 4 - \frac{8}{6})$

$S = (15 - \frac{125}{6}) - (-\frac{8}{6})$

$S = 15 - \frac{125}{6} + \frac{8}{6}$

$S = 15 - \frac{117}{6}$

$S = 15 - \frac{39}{2}$

$S = \frac{30 - 39}{2}$

$S = -\frac{9}{2}$

絶対値を取る必要があるため、

$S = \left| -\frac{9}{2} \right| = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$