放物線 $C: y = x^2 - 5x$ と、点 $(3, -6)$ における $C$ の接線、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 5x$ と、点 $(3, -6)$ における $C$ の接線、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線の式を求める。

まず、$y = x^2 - 5x$ を微分して、接線の傾きを求める。

$y' = 2x - 5$

点 $(3, -6)$ における接線の傾きは、$x = 3$ を代入して、

$y'(3) = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$

よって、接線の傾きは1である。

ステップ2: 接線の方程式を求める。

点 $(3, -6)$ を通り、傾きが1の直線の方程式は、

$y - (-6) = 1(x - 3)$

$y + 6 = x - 3$

$y = x - 9$

ステップ3: 放物線とx軸との交点を求める。

放物線 $y = x^2 - 5x$ と $x$ 軸 ($y = 0$) の交点を求める。

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

$x = 0, 5$

交点は $(0, 0)$ と $(5, 0)$ である。

ステップ4: 接線とx軸との交点を求める。

接線 $y = x - 9$ と $x$ 軸 ($y = 0$) の交点を求める。

$x - 9 = 0$

$x = 9$

交点は $(9, 0)$ である。

ステップ5: 面積を求める。

求める面積 $S$ は、放物線とx軸で囲まれた部分の面積から、接線とx軸で囲まれた部分の面積を引いたものである。

まず、放物線 $y = x^2 - 5x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $x = 0$ から $x = 5$ まで積分して求める。

$\int_{0}^{5} |x^2 - 5x| dx = \int_{0}^{5} (5x - x^2) dx = \left[ \frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{5} = \frac{5}{2}(25) - \frac{1}{3}(125) = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} = \frac{375 - 250}{6} = \frac{125}{6}$

次に、接線 $y = x - 9$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $x = 5$ から $x = 9$ まで積分して求めるわけではない。

接線とx軸で囲まれた三角形の面積を計算する。頂点は (3,-6), (9,0), x軸との交点がx=3とx=9の間にあるから, 5から9まで積分する。

$\int_{3}^{9} (0 - (x-9)) dx = \int_{3}^{9} (9 - x) dx = \left[ 9x - \frac{1}{2}x^2 \right]_{3}^{9} = (81 - \frac{81}{2}) - (27 - \frac{9}{2}) = 81 - 27 - \frac{81}{2} + \frac{9}{2} = 54 - \frac{72}{2} = 54 - 36 = 18$

x=3の時、y=-6だからx軸より下にある。求める面積は、放物線とx軸, および接線で囲まれた部分である。

$S = \int_{0}^{3} (x^2 - 5x) dx + \int_{3}^{5} (x^2 - 5x) dx = \frac{125}{6} - \int_{3}^{5} (x-9) dx = \frac{125}{6} - (\frac{5}{2}x^2 - 6x - \int_{3}^{5} (x-9)dx)$.

$\int_{3}^{5} (9-x) dx = [\frac{-1}{2}x^2 + 9x]_{3}^{5} = (-\frac{25}{2} + 45) - (-\frac{9}{2} + 27) = \frac{65}{2} - \frac{45}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Therefore the required area $S = |\int_3^5 (x^2-5x)dx - \int_3^5 (x-9)dx |$.

$\int_3^5 (x^2-5x-(x-9))dx = \int_3^5 (x^2-6x+9)dx = \int_3^5 (x-3)^2 dx = [\frac{1}{3} (x-3)^3]_3^5 = \frac{1}{3}(2^3) - 0 = \frac{8}{3}$

$\int_0^5 (x^2-5x)dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2} x^2] = \frac{5^3}{3} - \frac{5^3}{2} = \frac{2(125) - 3(125)}{6} = -\frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$