$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ という関数が与えられています。曲線 $y = f(x)$ が直線 $y = x + 3$ と点 $P(-1, 2)$ で接しています。また、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $Q(2, f(2))$ における接線は点 $P$ を通ります。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ という関数が与えられています。曲線 $y = f(x)$ が直線 $y = x + 3$ と点 $P(-1, 2)$ で接しています。また、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $Q(2, f(2))$ における接線は点 $P$ を通ります。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = f(x)$ が点 $P(-1, 2)$ を通ることから、

$f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c = 2$

したがって、

$a - b + c = 3$ ...(1)

次に、$y = f(x)$ が直線 $y = x + 3$ と点 $P(-1, 2)$ で接することから、$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ であるので、$x = -1$ における $f(x)$ の接線の傾きは1です。

$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3 - 2a + b = 1$

したがって、

$-2a + b = -2$ ...(2)

次に、点 $Q(2, f(2))$ における接線は点 $P(-1, 2)$ を通ることを利用します。

$f(2) = 2^3 + a(2)^2 + b(2) + c = 8 + 4a + 2b + c$

点 $Q(2, f(2))$ における接線の傾きは、$f'(2) = 3(2)^2 + 2a(2) + b = 12 + 4a + b$

点 $Q$ における接線の方程式は、

$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$

$y - (8 + 4a + 2b + c) = (12 + 4a + b)(x - 2)$

この接線が点 $P(-1, 2)$ を通るので、$x = -1, y = 2$ を代入すると、

$2 - (8 + 4a + 2b + c) = (12 + 4a + b)(-1 - 2)$

$-6 - 4a - 2b - c = (12 + 4a + b)(-3)$

$-6 - 4a - 2b - c = -36 - 12a - 3b$

$8a + b - c = -30$ ...(3)

(1), (2), (3) の連立方程式を解きます。

(1) より、$c = 3 - a + b$

(2) より、$b = 2a - 2$

これらを (3) に代入すると、

$8a + (2a - 2) - (3 - a + (2a - 2)) = -30$

$8a + 2a - 2 - 3 + a - 2a + 2 = -30$

$9a - 3 = -30$

$9a = -27$

$a = -3$

$b = 2a - 2 = 2(-3) - 2 = -6 - 2 = -8$

$c = 3 - a + b = 3 - (-3) + (-8) = 3 + 3 - 8 = -2$

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -8$, $c = -2$