定積分 $\int_1^2 x \cdot 2^x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^2 x \cdot 2^x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$ と $dv = 2^x dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ であり、$v = \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2}$ となります。

部分積分の公式に当てはめると、

$\int x \cdot 2^x dx = x \cdot \frac{2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2} dx = \frac{x 2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \int 2^x dx = \frac{x 2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2^x}{\ln 2} = \frac{x 2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{(\ln 2)^2} + C$

となります。

したがって、定積分は

$\int_1^2 x \cdot 2^x dx = \left[ \frac{x 2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{(\ln 2)^2} \right]_1^2 = \left( \frac{2 \cdot 2^2}{\ln 2} - \frac{2^2}{(\ln 2)^2} \right) - \left( \frac{1 \cdot 2^1}{\ln 2} - \frac{2^1}{(\ln 2)^2} \right) = \frac{8}{\ln 2} - \frac{4}{(\ln 2)^2} - \frac{2}{\ln 2} + \frac{2}{(\ln 2)^2} = \frac{6}{\ln 2} - \frac{2}{(\ln 2)^2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{6}{\ln 2} - \frac{2}{(\ln 2)^2}$