2次関数 $f(x)$ と定数 $p$ が、積分を含む以下の式を満たすとき、$f(x)$ と $p$ の値を求める問題です。 $$ \int_{0}^{x} f(t) dt + \int_{-1}^{1} xf(t) dt - \frac{1}{3} \{f(1) - f(-1)\} = 4x^3 + px^2 - 10x - 4 $$

1. 問題の内容

2次関数 $f(x)$ と定数 $p$ が、積分を含む以下の式を満たすとき、$f(x)$ と $p$ の値を求める問題です。

$$\int_{0}^{x} f(t) dt + \int_{-1}^{1} xf(t) dt - \frac{1}{3} \{f(1) - f(-1)\} = 4x^3 + px^2 - 10x - 4$$

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が2次関数であることから、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおきます。

次に、与えられた等式の各項を計算していきます。

$\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} (at^2 + bt + c) dt = \left[\frac{1}{3}at^3 + \frac{1}{2}bt^2 + ct\right]_{0}^{x} = \frac{1}{3}ax^3 + \frac{1}{2}bx^2 + cx$

$\int_{-1}^{1} f(t) dt = \int_{-1}^{1} (at^2 + bt + c) dt = \left[\frac{1}{3}at^3 + \frac{1}{2}bt^2 + ct\right]_{-1}^{1} = \frac{2}{3}a + 2c$

したがって、$\int_{-1}^{1} xf(t) dt = x \int_{-1}^{1} f(t) dt = x(\frac{2}{3}a + 2c) = (\frac{2}{3}a + 2c)x$

$f(1) = a + b + c$

$f(-1) = a - b + c$

$f(1) - f(-1) = (a+b+c) - (a-b+c) = 2b$

$\frac{1}{3}\{f(1) - f(-1)\} = \frac{2}{3}b$

これらの結果を元の等式に代入すると、

$\frac{1}{3}ax^3 + \frac{1}{2}bx^2 + cx + (\frac{2}{3}a + 2c)x - \frac{2}{3}b = 4x^3 + px^2 - 10x - 4$

両辺の係数を比較します。

$x^3$の係数: $\frac{1}{3}a = 4$ より $a = 12$

$x^2$の係数: $\frac{1}{2}b = p$ より $b = 2p$

$x$の係数: $c + \frac{2}{3}a + 2c = -10$ より $3c + \frac{2}{3}a = -10$。$a=12$ を代入して $3c + 8 = -10$ より $3c = -18$、$c = -6$

定数項: $-\frac{2}{3}b = -4$ より $b = 6$

$b = 2p$ であり、$b=6$ なので $2p = 6$ より $p = 3$

よって、$f(x) = 12x^2 + 6x - 6$、$p = 3$

3. 最終的な答え

$f(x) = 12x^2 + 6x - 6$

$p = 3$