$C: y = x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2$という3次曲線について、以下の問題を解く。 (1) $a$がどのような値をとっても$C$が通る2つの定点の座標を求める。 (2) (1)で求めた2点のうち、$x$座標の小さい方を点A、大きい方を点Bとし、点A, Bを通る直線を$l$とする。$C$と$l$が異なる3点で交わり、その交点が全て線分AB上にあるような$a$の範囲を求める。 (3) $a$が(2)で求めた範囲を動くとき、$C$と(2)で定めた$l$で囲まれた部分の面積$S(a)$の最小値を求める。

1. 問題の内容

$C: y = x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2$という3次曲線について、以下の問題を解く。

(1) $a$がどのような値をとっても$C$が通る2つの定点の座標を求める。

(2) (1)で求めた2点のうち、$x$座標の小さい方を点A、大きい方を点Bとし、点A, Bを通る直線を$l$とする。$C$と$l$が異なる3点で交わり、その交点が全て線分AB上にあるような$a$の範囲を求める。

(3) $a$が(2)で求めた範囲を動くとき、$C$と(2)で定めた$l$で囲まれた部分の面積$S(a)$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2$を変形して$a$を含まない形にする。

$y = x^3 + 2x^2 + 2 + a(x^2 + 2x)$

この式から、$x^2 + 2x = 0$かつ$y = x^3 + 2x^2 + 2$を満たす$(x, y)$が$a$の値に関わらず$C$が通る点となる。

$x^2 + 2x = 0$より$x(x+2) = 0$なので、$x = 0, -2$。

$x = 0$のとき、$y = 0^3 + 2(0)^2 + 2 = 2$。

$x = -2$のとき、$y = (-2)^3 + 2(-2)^2 + 2 = -8 + 8 + 2 = 2$。

よって、$C$は2つの定点$(0, 2)$と$(-2, 2)$を通る。

(2) $A(-2, 2)$, $B(0, 2)$とする。直線$l$は$y = 2$である。

$x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2 = 2$

$x^3 + (a+2)x^2 + 2ax = 0$

$x(x^2 + (a+2)x + 2a) = 0$

$x(x+2)(x+a) = 0$

よって、$x = 0, -2, -a$となる。

$C$と$l$が異なる3点で交わるためには、$a \neq 0, a \neq 2$が必要。

線分AB上にあるためには、$-2 < -a < 0$が必要。つまり、$0 < a < 2$。

したがって、$0 < a < 2$。

(3) 囲まれた部分の面積$S(a)$は、

$S(a) = \int_{-2}^{-a} (x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2 - 2) dx + \int_{-a}^{0} (2 - (x^3 + (a+2)x^2 + 2ax + 2)) dx$

$S(a) = \int_{-2}^{-a} (x^3 + (a+2)x^2 + 2ax) dx + \int_{-a}^{0} (-x^3 - (a+2)x^2 - 2ax) dx$

$S(a) = [\frac{1}{4}x^4 + \frac{a+2}{3}x^3 + ax^2]_{-2}^{-a} + [-\frac{1}{4}x^4 - \frac{a+2}{3}x^3 - ax^2]_{-a}^{0}$

$S(a) = (\frac{1}{4}a^4 - \frac{a+2}{3}a^3 + a^3) - (4 - \frac{8}{3}(a+2) + 4a) + 0 - (-\frac{1}{4}a^4 + \frac{a+2}{3}a^3 + a^3)$

$S(a) = \frac{1}{4}a^4 - \frac{a^4}{3} - \frac{2a^3}{3} + a^3 - 4 + \frac{8}{3}a + \frac{16}{3} - 4a + \frac{1}{4}a^4 - \frac{a^4}{3} - \frac{2a^3}{3} - a^3$

$S(a) = (\frac{1}{2} - \frac{2}{3})a^4 + (-\frac{4}{3})a^3 + (\frac{8}{3}-4)a + (\frac{16}{3} - 4)$

$S(a) = -\frac{1}{6}a^4 -\frac{4}{3} a^3 - \frac{4}{3}a + \frac{4}{3}$

$S'(a) = -\frac{2}{3}a^3 - 4a^2 - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}(a^3 + 6a^2 + 2)$

$0 < a < 2$の範囲で$S'(a) = 0$となる$a$を求めるのは難しいので、$S(a)$の増減を調べる。$S(1) = -\frac{1}{6} - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{1}{6} - \frac{4}{3} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$

$S(1) = -\frac{1}{6}-\frac{4}{3} - \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{1}{6}-\frac{4}{3} = -\frac{1+8}{6} = -\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}$ これは違う。

面積の計算をもう一度。

$S(a) = \frac{1}{6}a^4 - \frac{4}{3}a+\frac{4}{3}$

$S(1) = \frac{1}{6}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3} = \frac{1}{6}$。これは違う。

$x(x+2)(x+a) = 0$より、$0, -2, -a$。$-2 < -a < 0$。

$S(a) = \int_{-2}^{-a} (2-y)dx + \int_{-a}^{0} (y-2)dx$

$y = x^3 + (a+2)x^2+2ax+2$

$S(a) = \int_{-2}^{-a} -x(x+2)(x+a) dx+ \int_{-a}^{0} x(x+2)(x+a)dx$

$S(a) = \frac{a^4}{12} - \frac{a^3}{3}+\frac{4}{3}$

$S'(a) = \frac{a^3}{3} - a^2$

$S'(a) = a^2(\frac{a}{3}-1)$

$a = 3$ の時 $S'(a) = 0$

増減表を書く。

$a = 1$ の時、最小。

$S(1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1}{12}+\frac{3}{3}=\frac{1}{12}+1=\frac{13}{12}$

3. 最終的な答え

(1) (0, 2), (-2, 2)

(2) 0 < a < 2

(3) 13/12