問題は以下の2つです。 (1) $y = [2x]$ ($-1 \le x \le 2$) のグラフを描く。ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表す。 (2) (1)のグラフと $y = 2x + k$ が共有点を持つような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $y = [2x]$ ($-1 \le x \le 2$) のグラフを描く。ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を表す。

(2) (1)のグラフと $y = 2x + k$ が共有点を持つような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) ガウス記号のグラフを描く。

$x$ の範囲を区切って考える。

- $-1 \le x < -0.5$ のとき、$-2 \le 2x < -1$ なので、$[2x] = -2$

- $-0.5 \le x < 0$ のとき、$-1 \le 2x < 0$ なので、$[2x] = -1$

- $0 \le x < 0.5$ のとき、$0 \le 2x < 1$ なので、$[2x] = 0$

- $0.5 \le x < 1$ のとき、$1 \le 2x < 2$ なので、$[2x] = 1$

- $1 \le x < 1.5$ のとき、$2 \le 2x < 3$ なので、$[2x] = 2$

- $1.5 \le x < 2$ のとき、$3 \le 2x < 4$ なので、$[2x] = 3$

- $x = 2$ のとき、$2x=4$ なので、$[2x] = 4$

これらの区間に応じて、$y = [2x]$ のグラフを描きます。

(2) (1)のグラフと $y = 2x + k$ のグラフが共有点を持つような $k$ の範囲を求める。

$y = 2x + k$ は傾きが2、切片が $k$ の直線である。

$y = [2x]$ のグラフと $y = 2x + k$ が共有点を持つ条件を考える。

$-1 \le x \le 2$ の範囲で、$y=[2x]$ は階段状のグラフになります。このグラフと直線 $y=2x+k$ が交点を持つ条件を考えます。

$x=-1$ のとき $y=[2x]=-2$. このとき、直線 $y=2x+k$ は $y = -2+k$ となる。したがって、 $-2+k \le -2$ の場合 $k \le 0$ となり、$-2+k$ が $-2$ より大きければ $k >0$ 。

$x=2$ のとき $y=[2x]=4$. このとき、直線 $y=2x+k$ は $y = 4+k$ となる。

グラフを描いて考えると、$y=2x+k$ が階段状のグラフと共有点を持つ条件は、

$y=[2x]$ のグラフの最小値である-2以下の部分と最大値である4以下の部分で $y=2x+k$ が重なっている必要がある。

$x=-1$で$y=[2x]=-2$であり、$y=2x+k=-2+k$であるから、$-2+k$が-2と-1の間にあると共有点を持つ。

$-2 \le -2+k \le -1$ より $0 \le k \le 1$

$x=0$で$y=[2x]=0$であり、$y=2x+k=k$であるから、$0 \le k < 1$ であれば交点を持つ。

$x=0.5$で$y=[2x]=1$であり、$y=2x+k=1+k$であるから、$1 \le 1+k < 2$ より $0 \le k < 1$

$x=1$で$y=[2x]=2$であり、$y=2x+k=2+k$であるから、$2 \le 2+k < 3$ より $0 \le k < 1$

$x=1.5$で$y=[2x]=3$であり、$y=2x+k=3+k$であるから、$3 \le 3+k < 4$ より $0 \le k < 1$

直線$y=2x+k$が$(-1, -2)$を通るとき、$y = 2(-1) + k = -2$より、$k = 0$

直線$y=2x+k$が$(2, 4)$を通るとき、$y = 2(2) + k = 4$より、$k = 0$

$y=2x$はガウス記号のグラフと交点を持つ。

$x=2$のとき、$y=[2x]=4$なので、$4 \le 2(2) +k$ つまり $4 \le 4+k$。よって$k \ge 0$.

$y=2x+k$がガウス記号のグラフの開区間 $(-1, -0.5)$ で $y=-2$ と交わるには、 $k<1$である必要がある。

$y=2x+k$がガウス記号のグラフの開区間 $(-0.5, 0)$ で $y=-1$ と交わるには、$0<k<2$である必要がある。

グラフを描くと、 $k$ の範囲は $-2 \le k < 2$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

$k$ の値の範囲は $-2 \le k < 2$ です。