点 $(1, a)$ を通って、曲線 $y = e^x$ にちょうど2本の接線が引けるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(1, a)$ を通って、曲線 $y = e^x$ にちょうど2本の接線が引けるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y=e^x$ 上の点 $(t, e^t)$ における接線を考える。

(2) 接線の傾きは $y'=e^x$ より、 $e^t$ である。

(3) よって、接線の方程式は

$y - e^t = e^t(x - t)$

と表せる。

(4) この接線が点 $(1, a)$ を通るので、

$a - e^t = e^t(1 - t)$

が成り立つ。

(5) この式を整理すると、

$a = e^t(2 - t)$

となる。

(6) $f(t) = e^t(2 - t)$ とおくと、$y=f(t)$ と $y=a$ のグラフの交点の個数が2つとなるような $a$ の範囲を求めればよい。

(7) $f'(t) = e^t(2 - t) + e^t(-1) = e^t(1 - t)$

である。

(8) $f'(t) = 0$ となるのは $t=1$ のときである。

(9) $t<1$ のとき $f'(t) > 0$ であり、$t>1$ のとき $f'(t) < 0$ であるから、$f(t)$ は $t=1$ で極大値をとる。

(10) 極大値は $f(1) = e^1(2 - 1) = e$ である。

(11) $\lim_{t \to -\infty} f(t) = 0$ である。

(12) $\lim_{t \to \infty} f(t) = -\infty$ である。

(13) $f(0)=2$ である。

(14)したがって、$y=f(t)$ のグラフと $y=a$ のグラフが2つの交点を持つためには、 $2 < a < e$ でなければならない。

3. 最終的な答え

$2 < a < e$