定積分 $\int_0^3 \sqrt{9-(x-3)^2} \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^3 \sqrt{9-(x-3)^2} \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x-3 = 3\sin\theta$ と置換します。

すると、$dx = 3\cos\theta \, d\theta$ となります。

積分範囲を変更します。

$x = 0$ のとき、$3\sin\theta = 0-3 = -3$ より、$\sin\theta = -1$ となり、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ です。

$x = 3$ のとき、$3\sin\theta = 3-3 = 0$ より、$\sin\theta = 0$ となり、$\theta = 0$ です。

与えられた積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sqrt{9 - (3\sin\theta)^2} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sqrt{9(1 - \sin^2\theta)} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sqrt{9\cos^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 3\cos\theta \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$= 9 \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos^2\theta \, d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を用いると

$= 9 \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta$

$= \frac{9}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1+\cos(2\theta)) \, d\theta$

$= \frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^0$

$= \frac{9}{2} \left[ \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi)\right) \right]$

$= \frac{9}{2} \left[ 0 - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) \right]$

$= \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$

$= \frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{4}$