問題は、正の定数 $k$ に対して、方程式 $\cos^2 x - \sin^2 x + k(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}) = 0$ を満たす $x$ の個数について考えるものです。特に、与えられた方程式に $\sin^2 x \cos^2 x$ をかけ、2倍角の公式を用いて変形し、$\frac{\sin^2 2x}{\boxed{チ}} - k\cos 2x = 0$ という形にすること、及び、$k$ の値に関係なく方程式を満たす $x = \frac{\pi}{\boxed{ツ}}$ を求めることが求められています。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えます。

1. 問題の内容

問題は、正の定数 $k$ に対して、方程式 $\cos^2 x - \sin^2 x + k(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}) = 0$ を満たす $x$ の個数について考えるものです。特に、与えられた方程式に $\sin^2 x \cos^2 x$ をかけ、2倍角の公式を用いて変形し、$\frac{\sin^2 2x}{\boxed{チ}} - k\cos 2x = 0$ という形にすること、及び、$k$ の値に関係なく方程式を満たす $x = \frac{\pi}{\boxed{ツ}}$ を求めることが求められています。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式に $\sin^2 x \cos^2 x$ をかけます。

$(\cos^2 x - \sin^2 x)\sin^2 x \cos^2 x + k(\sin^2 x - \cos^2 x) = 0$

$-(\cos^2 x - \sin^2 x)\sin^2 x \cos^2 x + k(\sin^2 x - \cos^2 x) = 0$

$(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x \cos^2 x - k) = 0$

ここで、$2\sin x \cos x = \sin 2x$ であるから、$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ です。したがって、$\sin^2 x \cos^2 x = (\frac{1}{2}\sin 2x)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2x$ となります。

したがって、$(- \cos 2x)(\frac{1}{4} \sin^2 2x - k) = 0$

$\frac{1}{4} \sin^2 2x \cos 2x - k \cos 2x = 0$

$(\frac{1}{4} \sin^2 2x - k)\cos 2x = 0$

$\frac{\sin^2 2x}{4} - k\cos 2x = 0$

したがって、$\frac{\sin^2 2x}{\boxed{4}} - k \cos 2x = 0$ となります。

よって、チは4です。

次に、kの値に関係なく方程式を満たすxの値を求めます。

$(\frac{1}{4} \sin^2 2x - k)\cos 2x = 0$

したがって、$\cos 2x = 0$ のとき、与えられた方程式が成立します。

$\cos 2x = 0$ となるのは、$2x = \frac{\pi}{2}$ のときです。

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$ となります。このとき、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の条件を満たしています。

よって、ツは4です。

3. 最終的な答え

チ: 4

ツ: 4