与えられた積分 $\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、分母の微分が分子に現れる形であることに注目して解きます。

まず、$u = x^3 + 3x^2 + 1$ と置換します。

すると、$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 6x$ となります。

積分記号の中の分子は $x^2 + 2x$ なので、$du$ の形にするために係数を調整します。

$\frac{1}{3} \frac{du}{dx} = x^2 + 2x$

よって、$\frac{1}{3} du = (x^2 + 2x)dx$ となります。

与えられた積分を $u$ で書き換えると、

$\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln|u| + C$

ここで、$u = x^3 + 3x^2 + 1$ を代入して戻すと、

$\frac{1}{3} \ln|x^3 + 3x^2 + 1| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln|x^3 + 3x^2 + 1| + C$