次の不定積分を求めます。 $\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)$

次に、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x+1}{2x^2 - x - 1} = \frac{x+1}{(2x+1)(x-1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-1}$

両辺に $(2x+1)(x-1)$ を掛けると

$x+1 = A(x-1) + B(2x+1)$

$x+1 = Ax - A + 2Bx + B$

$x+1 = (A+2B)x + (-A+B)$

係数を比較すると、

$A+2B = 1$

$-A+B = 1$

2つの式を足し合わせると、

$3B = 2$

$B = \frac{2}{3}$

$A = B - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{x+1}{2x^2 - x - 1} = -\frac{1}{3}\frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3}\frac{1}{x-1}$

積分は

$\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx = \int \left( -\frac{1}{3}\frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3}\frac{1}{x-1} \right) dx$

$= -\frac{1}{3} \int \frac{1}{2x+1} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-1} dx$

$= -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-1| + C$

$= -\frac{1}{6} \ln|2x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-1| + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{6} \ln|2x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-1| + C$