$I_n = \int (\log x)^n dx$ の不定積分の漸化式を求める問題です。

1. 問題の内容

$I_n = \int (\log x)^n dx$ の不定積分の漸化式を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて、$I_n$ を $I_{n-1}$ で表します。

$u = (\log x)^n$, $dv = dx$ とおくと、

$du = n (\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$I_n = \int (\log x)^n dx = x (\log x)^n - \int x \cdot n (\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$

$I_n = x (\log x)^n - n \int (\log x)^{n-1} dx$

$I_n = x (\log x)^n - n I_{n-1}$

3. 最終的な答え

$I_n = x (\log x)^n - n I_{n-1}$