(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ の和を求めます。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k(2k+2)}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ の和を求めます。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k(2k+2)}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(k+2) - k} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k})$

この和は、差分数列の和として計算できます。具体的には、

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k}) = (\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$

$= -\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} = -1 - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}$

よって、求める和は、

$\frac{1}{2}(-1-\sqrt{2}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})$

(2) 分数部分を部分分数分解します。

$\frac{1}{2k(2k+2)} = \frac{1}{4k(k+1)} = \frac{1}{4} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k(2k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

この和は、差分数列の和として計算できます。具体的には、

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

よって、求める和は、

$\frac{1}{4} \frac{n}{n+1} = \frac{n}{4(n+1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{-1 - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}}{2}$

(2) $\frac{n}{4(n+1)}$