放物線 $y=x^2-2x$ と $x$ 軸、および2直線 $x=-1$ と $x=3$ で囲まれた3つの部分の面積の和を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2-2x$ と $x$ 軸、および2直線 $x=-1$ と $x=3$ で囲まれた3つの部分の面積の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$y=0$ とすると、$x^2-2x=0$ より $x(x-2)=0$ となり、$x=0, 2$ が得られます。したがって、放物線は $x$ 軸と $x=0$ と $x=2$ で交わります。

次に、積分を用いて面積を計算します。

積分範囲を $[-1, 0]$, $[0, 2]$, $[2, 3]$ の3つの区間に分け、それぞれの区間で定積分を計算します。$x$ 軸より下の部分の面積は負の値で出てくるので、絶対値を取って面積を正の値にします。

区間 $[-1, 0]$ では、$y=x^2-2x > 0$ なので、面積 $S_1$ は

$S_1 = \int_{-1}^{0} (x^2-2x) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - x^2]_{-1}^{0}$

$= (0) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2)$

$= 0 - (-\frac{1}{3} - 1)$

$= \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

区間 $[0, 2]$ では、$y=x^2-2x < 0$ なので、面積 $S_2$ は

$S_2 = \left|\int_{0}^{2} (x^2-2x) dx\right|$

$= \left|[\frac{1}{3}x^3 - x^2]_{0}^{2}\right|$

$= \left|(\frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2) - (0)\right|$

$= \left|\frac{8}{3} - 4\right|$

$= \left|\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right|$

$= \left|-\frac{4}{3}\right| = \frac{4}{3}$

区間 $[2, 3]$ では、$y=x^2-2x > 0$ なので、面積 $S_3$ は

$S_3 = \int_{2}^{3} (x^2-2x) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - x^2]_{2}^{3}$

$= (\frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2) - (\frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2)$

$= (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{8}{3} - 4)$

$= (9 - 9) - (\frac{8}{3} - \frac{12}{3})$

$= 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$

したがって、3つの部分の面積の和 $S$ は、

$S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$

3. 最終的な答え

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