$xy$ 平面上の領域 $D = \{(x, y) | x \le y \le 4x, 1 \le xy \le 3\}$ において、変数変換 $u = xy, v = \frac{y}{x}$ によって $uv$ 平面上の領域 $E$ に対応する。このとき、二重積分 $I = \iint_D x^2e^{-x^2y^2} dxdy$ について、以下の問いに答える。 (1) $xy$ 平面上に領域 $D$ を図示する。 (2) $uv$ 平面上に領域 $E$ を図示する。 (3) ヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$ および $\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x}$ を求め、$x, y$ を $u, v$ の式で表す。 (4) $I = \frac{1}{2} \iint_E \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv$ を示す。 (5) $I$ の値を求める。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上の領域 $D = \{(x, y) | x \le y \le 4x, 1 \le xy \le 3\}$ において、変数変換 $u = xy, v = \frac{y}{x}$ によって $uv$ 平面上の領域 $E$ に対応する。このとき、二重積分 $I = \iint_D x^2e^{-x^2y^2} dxdy$ について、以下の問いに答える。

(1) $xy$ 平面上に領域 $D$ を図示する。

(2) $uv$ 平面上に領域 $E$ を図示する。

(3) ヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$ および $\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x}$ を求め、$x, y$ を $u, v$ の式で表す。

(4) $I = \frac{1}{2} \iint_E \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv$ を示す。

(5) $I$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 領域 $D$ の図示：

$y = x, y = 4x, xy = 1, xy = 3$ のグラフを $xy$ 平面上に描く。$D$ はこれらの曲線で囲まれた領域となる。

(2) 領域 $E$ の図示：

変数変換 $u = xy, v = \frac{y}{x}$ を用いると、$x \le y \le 4x$ より $1 \le \frac{y}{x} \le 4$ となり、$1 \le v \le 4$ が得られる。また、$1 \le xy \le 3$ より、$1 \le u \le 3$ となる。したがって、$uv$ 平面上における領域 $E$ は、$1 \le u \le 3$ かつ $1 \le v \le 4$ を満たす長方形の領域となる。

(3) ヤコビアンの計算：

$u = xy, v = \frac{y}{x}$ より、

$x = \sqrt{\frac{u}{v}}, y = \sqrt{uv}$

である。

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2\sqrt{uv}}, \frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v^3}}, \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v}{u}}, \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v}}$

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{2\sqrt{uv}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v}} - (-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v^3}}) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v}{u}} = \frac{1}{4v} + \frac{1}{4v} = \frac{1}{2v}$

$\frac{\partial u}{\partial x} = y, \frac{\partial u}{\partial y} = x, \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}, \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = y \cdot \frac{1}{x} - x \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} = \frac{2y}{x} = 2v$

確かに $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u, y)}{\partial(x, y)}}$ が成り立つ。

(4) 積分の変換：

$I = \iint_D x^2e^{-x^2y^2} dxdy = \iint_E x^2 e^{-u^2} |\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}| dudv$

$x^2 = \frac{u}{v}$ なので、

$I = \iint_E \frac{u}{v} e^{-u^2} |\frac{1}{2v}| dudv = \frac{1}{2} \iint_E \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv$

(5) $I$ の計算：

$I = \frac{1}{2} \int_1^3 \int_1^4 \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dvdu = \frac{1}{2} \int_1^3 u e^{-u^2} \int_1^4 \frac{1}{v^2} dv du$

$\int_1^4 \frac{1}{v^2} dv = [-\frac{1}{v}]_1^4 = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}$

$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \int_1^3 u e^{-u^2} du = \frac{3}{8} \int_1^3 u e^{-u^2} du$

$t = u^2$ とおくと、$dt = 2u du$ より、$u du = \frac{1}{2} dt$

$\int u e^{-u^2} du = \int e^{-t} \frac{1}{2} dt = -\frac{1}{2} e^{-t} = -\frac{1}{2} e^{-u^2}$

$I = \frac{3}{8} [-\frac{1}{2} e^{-u^2}]_1^3 = \frac{3}{8} (-\frac{1}{2} e^{-9} + \frac{1}{2} e^{-1}) = \frac{3}{16} (e^{-1} - e^{-9})$

3. 最終的な答え

(1) $xy$ 平面上における領域 $D$ の図示は省略します。

(2) $uv$ 平面上における領域 $E$ の図示は省略します。

(3) $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{2v}$

(4) $I = \frac{1}{2} \iint_E \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv$

(5) $I = \frac{3}{16}(e^{-1} - e^{-9})$