まず、関数 f(x) を平方完成する。 f(x)=2(x2+23mx)−2m=2(x+43m)2−2(43m)2−2m=2(x+43m)2−89m2−2m 軸 x=−43m の位置によって最小値が変わる。 (i) −43m<0 つまり m>0 のとき もし −43m が区間 0≤x≤1 に含まれていれば（0≤−43m≤1 つまり −34≤m≤0）、最小値は頂点の x=−43m のときであり、g=−89m2−2m となる。 m>0 なので、−43m<0の場合を考える。このとき、f(x) は区間 [0,1] で単調増加である。最小値は f(0)=−2m となる。 (ii) 0≤−43m≤1 つまり −34≤m≤0 のとき 最小値は頂点の x=−43m のときであり、g=−89m2−2m となる。 (iii) −43m>1 つまり m<−34 のとき f(x) は区間 [0,1] で単調減少である。最小値は f(1)=2+3m−2m=m+2 となる。 したがって、
$g(m) = \begin{cases}
m+2 & (m < -\frac{4}{3}) \\
-\frac{9}{8}m^2 - 2m & (-\frac{4}{3} \le m \le 0) \\
-2m & (m > 0)
\end{cases}$
m<−34 のとき、g(m)=m+2<−34+2=32 −34≤m≤0 のとき、g(m)=−89m2−2m=−89(m2+916m)=−89((m+98)2−8164)=−89(m+98)2+98 m=−98 のとき、最大値 98 をとる。 m>0 のとき、g(m)=−2m<0 したがって、g の最大値は 98 である。 