定数 $a$ に対して、方程式 $x^3 + 3x^2 = a$ が与えられています。 (1) 関数 $y = x^3 + 3x^2$ のグラフを描く。 (2) 方程式 $x^3 + 3x^2 = a$ が異なる3つの実数解を持つとき、$a$ の値の範囲を求める。
2025/8/14
1. 問題の内容
定数 に対して、方程式 が与えられています。
(1) 関数 のグラフを描く。
(2) 方程式 が異なる3つの実数解を持つとき、 の値の範囲を求める。
2. 解き方の手順
(1) 関数 のグラフを描く。
まず、導関数を計算します。
となるのは、 または のときです。
次に、増減表を作ります。
| x | ... | -2 | ... | 0 | ... |
|-----|-----|----|-----|---|-----|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↑ | 4 | ↓ | 0 | ↑ |
のとき、
のとき、
よって、 で極大値4、 で極小値0をとります。
また、 のとき であり、 のとき です。
以上の情報を基にグラフを描きます。
(2) 方程式 が異なる3つの実数解を持つとき、 の値の範囲を求める。
方程式 の実数解は、関数 のグラフと直線 の交点の 座標に対応します。したがって、方程式が異なる3つの実数解を持つためには、直線 が極大値と極小値の間になければなりません。つまり、 となります。
3. 最終的な答え
(1) 関数 のグラフは、増減表を基にしたグラフを描く。(省略)
(2)