定数 $a$ に対して、方程式 $x^3 + 3x^2 = a$ が与えられています。 (1) 関数 $y = x^3 + 3x^2$ のグラフを描く。 (2) 方程式 $x^3 + 3x^2 = a$ が異なる3つの実数解を持つとき、$a$ の値の範囲を求める。

解析学微分グラフ極値方程式増減
2025/8/14

1. 問題の内容

定数 aa に対して、方程式 x3+3x2=ax^3 + 3x^2 = a が与えられています。
(1) 関数 y=x3+3x2y = x^3 + 3x^2 のグラフを描く。
(2) 方程式 x3+3x2=ax^3 + 3x^2 = a が異なる3つの実数解を持つとき、aa の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 y=x3+3x2y = x^3 + 3x^2 のグラフを描く。
まず、導関数を計算します。
y=3x2+6x=3x(x+2)y' = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)
y=0y' = 0 となるのは、x=0x = 0 または x=2x = -2 のときです。
次に、増減表を作ります。
| x | ... | -2 | ... | 0 | ... |
|-----|-----|----|-----|---|-----|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↑ | 4 | ↓ | 0 | ↑ |
x=2x = -2 のとき、y=(2)3+3(2)2=8+12=4y = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4
x=0x = 0 のとき、y=03+3(0)2=0y = 0^3 + 3(0)^2 = 0
よって、x=2x = -2 で極大値4、x=0x = 0 で極小値0をとります。
また、xx \to \infty のとき yy \to \infty であり、xx \to -\infty のとき yy \to -\infty です。
以上の情報を基にグラフを描きます。
(2) 方程式 x3+3x2=ax^3 + 3x^2 = a が異なる3つの実数解を持つとき、aa の値の範囲を求める。
方程式 x3+3x2=ax^3 + 3x^2 = a の実数解は、関数 y=x3+3x2y = x^3 + 3x^2 のグラフと直線 y=ay = a の交点の xx 座標に対応します。したがって、方程式が異なる3つの実数解を持つためには、直線 y=ay = a が極大値と極小値の間になければなりません。つまり、0<a<40 < a < 4 となります。

3. 最終的な答え

(1) 関数 y=x3+3x2y = x^3 + 3x^2 のグラフは、増減表を基にしたグラフを描く。(省略)
(2) 0<a<40 < a < 4

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