$xy$平面上の領域$D = \{(x, y) \mid x \le y \le 4x, 1 \le xy \le 3\}$において、変数変換$u = xy$, $v = \frac{y}{x}$を行う。このとき、$uv$平面上の領域$E$に対応する。二重積分$I = \iint_D x^2 e^{-x^2 y^2} dxdy$について、以下の問いに答える。 (1) $xy$平面上に領域$D$を図示する。 (2) $uv$平面上に領域$E$を図示する。 (3) ヤコビアン$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$を$v$の式で表す。 (4) $I = \frac{1}{2} \iint_E \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv$を示す。 (5) $I$の値を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上の領域$D = \{(x, y) \mid x \le y \le 4x, 1 \le xy \le 3\}$において、変数変換$u = xy$, $v = \frac{y}{x}$を行う。このとき、$uv$平面上の領域$E$に対応する。二重積分$I = \iint_D x^2 e^{-x^2 y^2} dxdy$について、以下の問いに答える。

(1) $xy$平面上に領域$D$を図示する。

(2) $uv$平面上に領域$E$を図示する。

(3) ヤコビアン$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$を$v$の式で表す。

(4) $I = \frac{1}{2} \iint_E \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv$を示す。

(5) $I$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 領域$D$を図示する。

$y = x$, $y = 4x$, $xy = 1$, $xy = 3$のグラフを描く。

(2) 領域$E$を図示する。

$u = xy$, $v = \frac{y}{x}$なので、$x \le y \le 4x$は$1 \le \frac{y}{x} \le 4$より、$1 \le v \le 4$。

$1 \le xy \le 3$は$1 \le u \le 3$。

よって、領域$E$は長方形$1 \le u \le 3, 1 \le v \le 4$となる。

(3) ヤコビアンを計算する。

$u = xy$, $v = \frac{y}{x}$より、$y = vx$, $u = x(vx) = vx^2$。

よって、$x = \sqrt{\frac{u}{v}}$, $y = v \sqrt{\frac{u}{v}} = \sqrt{uv}$。

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{uv}}$, $\frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v^3}}$, $\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v}{u}}$, $\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v}}$。

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{uv}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v}} - (-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{u}{v^3}}) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v}{u}} = \frac{1}{4v} + \frac{1}{4v} = \frac{1}{2v}$。

(4) 二重積分を変換する。

$I = \iint_D x^2 e^{-x^2 y^2} dxdy = \iint_E x^2 e^{-u^2} \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| dudv$。

$x = \sqrt{\frac{u}{v}}$より、$x^2 = \frac{u}{v}$。

$\left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| = \left| \frac{1}{2v} \right| = \frac{1}{2v}$。

よって、$I = \iint_E \frac{u}{v} e^{-u^2} \frac{1}{2v} dudv = \frac{1}{2} \iint_E \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv$。

(5) 二重積分を計算する。

$I = \frac{1}{2} \int_1^4 \int_1^3 \frac{u}{v^2} e^{-u^2} dudv = \frac{1}{2} \int_1^4 \frac{1}{v^2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-u^2} \right]_1^3 dv = \frac{1}{2} \int_1^4 \frac{1}{v^2} (-\frac{1}{2} e^{-9} + \frac{1}{2} e^{-1}) dv = \frac{1}{4} (e^{-1} - e^{-9}) \int_1^4 \frac{1}{v^2} dv = \frac{1}{4} (e^{-1} - e^{-9}) \left[ -\frac{1}{v} \right]_1^4 = \frac{1}{4} (e^{-1} - e^{-9}) (-\frac{1}{4} + 1) = \frac{1}{4} (e^{-1} - e^{-9}) \frac{3}{4} = \frac{3}{16} (e^{-1} - e^{-9})$。

3. 最終的な答え

(3) $\frac{1}{2v}$

(5) $\frac{3}{16} (e^{-1} - e^{-9})$