与えられた積分の問題を解きます。具体的には、$\int xe^x dx$ を計算します。

解析学積分部分積分定積分
2025/8/14

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。具体的には、xexdx\int xe^x dx を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は次の通りです。
udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du
ここで、u=xu = xdv=exdxdv = e^x dx とします。すると、du=dxdu = dxv=exdx=exv = \int e^x dx = e^x となります。
これらの値を部分積分の公式に代入すると、
xexdx=xexexdx\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx
exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C であるから、
xexdx=xexex+C\int xe^x dx = xe^x - e^x + C

3. 最終的な答え

xexdx=xexex+C\int xe^x dx = xe^x - e^x + C
または
xexdx=ex(x1)+C\int xe^x dx = e^x(x-1) + C

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