3次関数 $y = x^3$ のグラフと直線 $y = 8$ および $y$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3$ のグラフと直線 $y = 8$ および $y$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3$ と $y = 8$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^3 = 8$ を解くと、$x = 2$ となります。

求める面積は、$y$ 軸、$y = x^3$ のグラフ、直線 $y = 8$ で囲まれた部分です。

これは、$y$軸から $x=2$ までの区間で、直線 $y = 8$ と曲線 $y = x^3$ の間の面積を計算することで求められます。

つまり、積分計算を行います。

$S = \int_0^2 (8 - x^3) dx$

積分を計算します。

$S = [8x - \frac{1}{4}x^4]_0^2$

$x = 2$ を代入します。

$S = (8(2) - \frac{1}{4}(2)^4) - (8(0) - \frac{1}{4}(0)^4)$

$S = (16 - \frac{1}{4}(16)) - 0$

$S = 16 - 4$

$S = 12$

3. 最終的な答え

12