与えられた級数 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{4k^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$4k^2 - 1 = (2k - 1)(2k + 1)$ なので、

$\frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$

とおきます。両辺に $(2k - 1)(2k + 1)$ をかけると、

$1 = A(2k + 1) + B(2k - 1)$

$k = \frac{1}{2}$ のとき $1 = A(2)$, よって $A = \frac{1}{2}$。

$k = -\frac{1}{2}$ のとき $1 = B(-2)$, よって $B = -\frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

これを用いて、与えられた級数を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)$

$= \frac{n}{2n + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{2n + 1}$