x軸上を動く点Pがあり、時刻 $t=0$ に原点Oを毎秒3の速さで出発し、ある点Aで向きを変え、出発から3秒後に原点Oに戻る。 (1) 点Pの座標xを時刻tの3次関数で表す。 (2) 点Pが原点Oと点Aの中点をx軸の負の向きに通過する瞬間の時刻tと、その時の速度vを求める。

1. 問題の内容

x軸上を動く点Pがあり、時刻 $t=0$ に原点Oを毎秒3の速さで出発し、ある点Aで向きを変え、出発から3秒後に原点Oに戻る。

(1) 点Pの座標xを時刻tの3次関数で表す。

(2) 点Pが原点Oと点Aの中点をx軸の負の向きに通過する瞬間の時刻tと、その時の速度vを求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標xを時刻tの3次関数で表す。

まず、x(t)を以下のように仮定する。

$x(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$

初期条件より、以下の条件がわかる。

$x(0) = 0$ より $d=0$

$x'(0) = 3$ より $c=3$

$x(3) = 0$ より $27a + 9b + 9 = 0$

向きを変える時刻を$t_A$とすると、$x'(t_A) = 0$となる。また、$t_A < 3$である。

点Aの座標を$x_A$とすると、$x_A = x(t_A)$である。

0から$t_A$まで正の方向に進み、$t_A$から3まで負の方向に進むので、

$x(3) = x(t_A) - \int_{t_A}^3 v(t) dt = 0$

$x(3) = 0$より、$x_A$を求めてみる。

速度$v(t) = 3at^2 + 2bt + 3$

$x'(t_A) = 3at_A^2 + 2bt_A + 3 = 0$

$x(3) = 27a + 9b + 9 = 0$ より $3a + b + 1 = 0$

$b = -3a - 1$

$3at_A^2 + 2(-3a-1)t_A + 3 = 0$

$3at_A^2 - (6a+2)t_A + 3 = 0$

$x(t) = at^3 + (-3a-1)t^2 + 3t$

$x(3) = 27a + (-3a-1)9 + 9 = 0$

$27a - 27a - 9 + 9 = 0$

ここで、点Aで向きを変えるため、点Aまでの時間$t_A$において速度が0になる。

また、0から$t_A$まで進んだ距離と、$t_A$から3まで戻った距離は等しい。つまり、$x(t_A) = -x(3) + 2x_A = 2x_A$

$x_A=x(t_A)$と置くと、$x(t_A) = a t_A^3 + b t_A^2 + c t_A$

$x_A = at_A^3 + (-3a-1)t_A^2 + 3t_A$

点Aの座標を$x_A$とすると、$x_A$まで進むのに$t_A$秒かかり、そこから原点に戻るのに$3-t_A$秒かかる。

$x_A = 3t_A - \frac{1}{2} a (3-t_A)^2$

$x(t) = -t^3 + 6t^2 -9t = t(t-3)(6-t)$とおくと、$x'(t) = -3t^2 + 12t - 9 = -3(t^2 - 4t + 3) = -3(t-1)(t-3)$

$x'(t) = 0$となるのは、$t=1,3$

$t=1$で点Aに到達し、向きを変える。

このとき、$x(1) = -1 + 6 - 9 = -4$

しかしこれは誤り。

$x(t) = at^3 + bt^2 + 3t, \quad x'(t) = 3at^2 + 2bt + 3$

$x(3) = 0 \implies 9a + 3b + 3 = 0 \implies 3a + b + 1 = 0$

$x'(t) = 0$ at $t=1$. $3a + 2b + 3 = 0$

$b = -3a - 1$

$3a -6a - 2 + 3 = 0 \implies -3a + 1 = 0 \implies a = 1/3$

$b = -3(1/3) - 1 = -2$

$x(t) = \frac{1}{3} t^3 - 2t^2 + 3t$

(2)

点Aの座標$x_A = x(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$

原点Oと点Aの中点 $x_M = \frac{0 + \frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{3} t^3 - 2t^2 + 3t = \frac{2}{3}$

$t^3 - 6t^2 + 9t - 2 = 0$

$t = 0.2679, 2.2321, 3.5$

$v(t) = t^2 - 4t + 3$

$v(0.2679) = (0.2679)^2 - 4(0.2679) + 3 = 2.062$

$v(2.2321) = (2.2321)^2 - 4(2.2321) + 3 = -2.062$

$v(3.5) = (3.5)^2 - 4(3.5) + 3 = 0.25$

$t=2.2321$のとき、$v < 0$なので、この値が求めるものである。

3. 最終的な答え

(1) $x(t) = \frac{1}{3} t^3 - 2t^2 + 3t$

(2) 時刻 $t = 2.2321$ のとき速度 $v = -2.062$