媒介変数表示 $x = \tan \theta - 1$、 $y = 3 - \frac{5}{\cos \theta}$ が与えられたとき、この媒介変数表示がどのような曲線を表すかを求める。

1. 問題の内容

媒介変数表示 $x = \tan \theta - 1$、 $y = 3 - \frac{5}{\cos \theta}$ が与えられたとき、この媒介変数表示がどのような曲線を表すかを求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $\theta$ を消去することを考えます。

$x = \tan \theta - 1$ より、$\tan \theta = x + 1$ となります。

$y = 3 - \frac{5}{\cos \theta}$ より、$\frac{5}{\cos \theta} = 3 - y$ なので、$\cos \theta = \frac{5}{3-y}$ となります。

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ と $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用います。

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$ なので、$\sin \theta = (x+1) \frac{5}{3-y}$ となります。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$((x+1) \frac{5}{3-y})^2 + (\frac{5}{3-y})^2 = 1$

$\frac{25(x+1)^2}{(3-y)^2} + \frac{25}{(3-y)^2} = 1$

両辺に $(3-y)^2$ をかけると、

$25(x+1)^2 + 25 = (3-y)^2$

$25(x^2 + 2x + 1) + 25 = 9 - 6y + y^2$

$25x^2 + 50x + 25 + 25 = 9 - 6y + y^2$

$25x^2 + 50x + 50 = y^2 - 6y + 9$

$25(x^2 + 2x + 1) + 25 = y^2 - 6y + 9$

$25(x+1)^2 + 25 = (y-3)^2$

$(y-3)^2 - 25(x+1)^2 = 25$

両辺を 25 で割ると、

$\frac{(y-3)^2}{25} - \frac{(x+1)^2}{1} = 1$

これは、双曲線の方程式です。

3. 最終的な答え

双曲線

$\frac{(y-3)^2}{25} - \frac{(x+1)^2}{1} = 1$