与えられた関数 $f(x) = \log_2(ax)$ と $g(x) = 3 + 2\log_2(x)$ について、以下の問題を解く。ただし、$a$ は定数であり、$f(2) = 2$ である。 (1) $a$ の値と $g(2)$ の値を求める。 (2) $t = \log_2(x)$ とおいて、$f(x) \cdot g(x)$ を $t$ を用いて表す。 (3) 方程式 $f(x) \cdot g(x) = k$ の解のうち、$1 \le x \le 2$ の範囲に含まれる解の個数を、$k$ の値によって場合分けして求める。

解析学対数関数関数の合成方程式不等式場合分け
2025/8/12

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)=log2(ax)f(x) = \log_2(ax)g(x)=3+2log2(x)g(x) = 3 + 2\log_2(x) について、以下の問題を解く。ただし、aa は定数であり、f(2)=2f(2) = 2 である。
(1) aa の値と g(2)g(2) の値を求める。
(2) t=log2(x)t = \log_2(x) とおいて、f(x)g(x)f(x) \cdot g(x)tt を用いて表す。
(3) 方程式 f(x)g(x)=kf(x) \cdot g(x) = k の解のうち、1x21 \le x \le 2 の範囲に含まれる解の個数を、kk の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

(1) f(2)=2f(2) = 2 より、log2(2a)=2\log_2(2a) = 2。これは 2a=22=42a = 2^2 = 4 を意味するので、a=2a = 2
g(x)=3+2log2(x)g(x) = 3 + 2\log_2(x)x=2x = 2 を代入すると、g(2)=3+2log2(2)=3+2(1)=5g(2) = 3 + 2\log_2(2) = 3 + 2(1) = 5
(2) f(x)=log2(ax)=log2(2x)=log2(2)+log2(x)=1+log2(x)=1+tf(x) = \log_2(ax) = \log_2(2x) = \log_2(2) + \log_2(x) = 1 + \log_2(x) = 1 + t
g(x)=3+2log2(x)=3+2tg(x) = 3 + 2\log_2(x) = 3 + 2t
よって、f(x)g(x)=(1+t)(3+2t)=3+2t+3t+2t2=2t2+5t+3f(x) \cdot g(x) = (1 + t)(3 + 2t) = 3 + 2t + 3t + 2t^2 = 2t^2 + 5t + 3
(3) 1x21 \le x \le 2 のとき、t=log2(x)t = \log_2(x) の範囲を求める。
log2(1)log2(x)log2(2)\log_2(1) \le \log_2(x) \le \log_2(2) より、0t10 \le t \le 1
y=2t2+5t+3y = 2t^2 + 5t + 3 のグラフと直線 y=ky = k の共有点の個数を調べる。
y=2t2+5t+3=2(t2+52t)+3=2(t+54)22(2516)+3=2(t+54)2258+248=2(t+54)218y = 2t^2 + 5t + 3 = 2(t^2 + \frac{5}{2}t) + 3 = 2(t + \frac{5}{4})^2 - 2(\frac{25}{16}) + 3 = 2(t + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} + \frac{24}{8} = 2(t + \frac{5}{4})^2 - \frac{1}{8}
頂点は (54,18)(-\frac{5}{4}, -\frac{1}{8}) で、下に凸な放物線。
t=0t = 0 のとき、y=2(0)2+5(0)+3=3y = 2(0)^2 + 5(0) + 3 = 3
t=1t = 1 のとき、y=2(1)2+5(1)+3=2+5+3=10y = 2(1)^2 + 5(1) + 3 = 2 + 5 + 3 = 10
(i) 3k<103 \le k < 10 のとき、共有点は1個なので、解の個数は1個。
(ii) k<3k < 3 のとき、共有点は0個なので、解の個数は0個。
k=3k = 3のとき、共有点は1個なので、解の個数は1個。
(iii) 10<k10 < k のとき、共有点は0個なので、解の個数は0個。

3. 最終的な答え

(1) a=2a = 2, g(2)=5g(2) = 5
(2) f(x)g(x)=2t2+5t+3f(x) \cdot g(x) = 2t^2 + 5t + 3
(3) 0t10 \le t \le 1
(i) 3k<103 \le k < 10 のとき、解の個数は 1 個。
(ii) k<3k < 3, k=3k = 3のとき、解の個数は 1 個。
(iii) 10<k10 < k のとき、解の個数は 0 個。

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