与えられた関数 $f(x) = \log_2(ax)$ と $g(x) = 3 + 2\log_2(x)$ について、以下の問題を解く。ただし、$a$ は定数であり、$f(2) = 2$ である。 (1) $a$ の値と $g(2)$ の値を求める。 (2) $t = \log_2(x)$ とおいて、$f(x) \cdot g(x)$ を $t$ を用いて表す。 (3) 方程式 $f(x) \cdot g(x) = k$ の解のうち、$1 \le x \le 2$ の範囲に含まれる解の個数を、$k$ の値によって場合分けして求める。
2025/8/12
1. 問題の内容
与えられた関数 と について、以下の問題を解く。ただし、 は定数であり、 である。
(1) の値と の値を求める。
(2) とおいて、 を を用いて表す。
(3) 方程式 の解のうち、 の範囲に含まれる解の個数を、 の値によって場合分けして求める。
2. 解き方の手順
(1) より、。これは を意味するので、。
に を代入すると、。
(2) 。
。
よって、。
(3) のとき、 の範囲を求める。
より、。
のグラフと直線 の共有点の個数を調べる。
。
頂点は で、下に凸な放物線。
のとき、。
のとき、。
(i) のとき、共有点は1個なので、解の個数は1個。
(ii) のとき、共有点は0個なので、解の個数は0個。
のとき、共有点は1個なので、解の個数は1個。
(iii) のとき、共有点は0個なので、解の個数は0個。
3. 最終的な答え
(1) ,
(2)
(3)
(i) のとき、解の個数は 1 個。
(ii) , のとき、解の個数は 1 個。
(iii) のとき、解の個数は 0 個。