与えられた関数 $f(x) = \log_2 ax$ と $g(x) = 3 + 2\log_{\frac{1}{2}}x$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(2) = 2$ を用いて $a$ の値を求め、$g(2)$ の値を求めます。 (2) $t = \log_{\frac{1}{2}}x$ とおき、$f(x) \cdot g(x)$ を $t$ の式で表します。 (3) 方程式 $f(x) \cdot g(x) = k$ の解の個数（$1 \le x \le 2$ の範囲）を、$k$ の値によって分類して求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \log_2 ax$ と $g(x) = 3 + 2\log_{\frac{1}{2}}x$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(2) = 2$ を用いて $a$ の値を求め、$g(2)$ の値を求めます。

(2) $t = \log_{\frac{1}{2}}x$ とおき、$f(x) \cdot g(x)$ を $t$ の式で表します。

(3) 方程式 $f(x) \cdot g(x) = k$ の解の個数（$1 \le x \le 2$ の範囲）を、$k$ の値によって分類して求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = \log_2 ax$ より、$f(2) = \log_2 2a = 2$ です。

したがって、$2a = 2^2 = 4$ より、$a = 2$ となります。

$g(x) = 3 + 2\log_{\frac{1}{2}}x$ より、$g(2) = 3 + 2\log_{\frac{1}{2}}2 = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1$ となります。

(2)

$f(x) = \log_2 ax = \log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$ です。

$t = \log_{\frac{1}{2}} x$ より、$x = (\frac{1}{2})^t = 2^{-t}$ です。

したがって、$\log_2 x = \log_2 2^{-t} = -t$ です。

よって、$f(x) = 1 - t$ となります。

$g(x) = 3 + 2\log_{\frac{1}{2}}x = 3 + 2t$ です。

$f(x) \cdot g(x) = (1-t)(3+2t) = 3 + 2t - 3t - 2t^2 = -2t^2 - t + 3$ となります。

(3)

$1 \le x \le 2$ のとき、$t = \log_{\frac{1}{2}}x$ の範囲を考えます。

$x = 1$ のとき、$t = \log_{\frac{1}{2}}1 = 0$ です。

$x = 2$ のとき、$t = \log_{\frac{1}{2}}2 = -1$ です。

したがって、$-1 \le t \le 0$ となります。

$y = -2t^2 - t + 3$ とおくと、$y = -2(t^2 + \frac{1}{2}t) + 3 = -2(t + \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16}) + 3 = -2(t + \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 3 = -2(t + \frac{1}{4})^2 + \frac{25}{8}$ となります。

これは、頂点が $(-\frac{1}{4}, \frac{25}{8})$ の上に凸な放物線です。

$-1 \le t \le 0$ の範囲で考えます。

$t = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 - (-1) + 3 = -2 + 1 + 3 = 2$ です。

$t = 0$ のとき、$y = 3$ です。

頂点の $y$ 座標は $\frac{25}{8} = 3.125$ であり、$t = -\frac{1}{4}$ は $-1 \le t \le 0$ の範囲に含まれるので、最大値は $\frac{25}{8}$ となります。

$2 \le y \le \frac{25}{8}$ です。

$y = -2t^2 - t + 3 = k$ となる $t$ の個数によって、解の個数が決まります。

$k < 2$ のとき、解の個数は 0 個です。

$k = 2$ のとき、解の個数は 1 個です。

$2 < k < \frac{25}{8}$ のとき、解の個数は 2 個です。

$k = \frac{25}{8}$ のとき、解の個数は 1 個です。

$k > \frac{25}{8}$ のとき、解の個数は 0 個です。

(i) $k < 2$ のとき、解の個数は 0 個です。

(ii) $2 \le k < \frac{25}{8}$ のとき、解の個数は 2 個です。

$k = \frac{25}{8}$ のとき、解の個数は 1 個です。

(iii) $k > \frac{25}{8}$ のとき、解の個数は 0 個です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウエ: -2

オ: 3

カ: -1

キ: 0

ク: 2

ケコ/サ: 25/8

シ: 2

ス: 2

セ: 1

ソ: 0