(1) 全ての正の数 $x, y$ に対して、不等式 $x(\log x - \log y) \ge x - y$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのは $x = y$ の場合に限ることを示す。 (2) 正の数 $x_1, ..., x_n$ が $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ を満たしているとき、不等式 $\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log \frac{1}{n}$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのは $x_1 = ... = x_n = \frac{1}{n}$ の場合に限ることを示す。

1. 問題の内容

(1) 全ての正の数 $x, y$ に対して、不等式 $x(\log x - \log y) \ge x - y$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのは $x = y$ の場合に限ることを示す。

(2) 正の数 $x_1, ..., x_n$ が $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ を満たしているとき、不等式 $\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log \frac{1}{n}$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのは $x_1 = ... = x_n = \frac{1}{n}$ の場合に限ることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x\log x$ とおく。このとき、$f'(x) = \log x + 1$ および $f''(x) = \frac{1}{x}$ である。

$f''(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は下に凸な関数である。

$x(\log x - \log y) \ge x - y$ を示す。これは $x\log x - x\log y - x + y \ge 0$ と同値である。

$x = y$ のとき、$x(\log x - \log x) = 0 = x - x$.

$f(x) = x(\log x - \log y) - (x - y)$ とおくと、$f'(x) = \log x - \log y + 1 - 1 = \log x - \log y = \log \frac{x}{y}$.

$x = y$ のとき、$f'(x) = 0$ である。

$x > y$ のとき、$f'(x) > 0$ より $f(x)$ は増加関数である。

$x < y$ のとき、$f'(x) < 0$ より $f(x)$ は減少関数である。

従って、$x = y$ のときに $f(x)$ は最小値をとる。

$f(y) = y\log y - y\log y - y + y = 0$.

したがって、$f(x) \ge 0$ であるから、$x(\log x - \log y) \ge x - y$ である。

等号が成り立つのは $x = y$ のときに限る。

(2)

イェンセンの不等式を用いる。

$f(x) = x \log x$ とする。$f''(x) = \frac{1}{x} > 0$ より、$f(x)$ は下に凸な関数である。

$\sum_{i=1}^n x_i = 1$ であるから、イェンセンの不等式より

$\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log \left(\sum_{i=1}^n x_i \cdot x_i\right)$ではない。

$\sum_{i=1}^n x_i f(x_i) \ge f(\sum_{i=1}^n x_i x_i)$ではない。

イェンセンの不等式を用いる：

$f(x) = \log x$ は凹関数である。よって、

$\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \le \log (\sum_{i=1}^n x_i^2)$

$\sum_{i=1}^n x_i = 1$より$\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log \frac{1}{n}$を示す.

$f(x) = -\log x$ とおく。

このとき $f'(x) = -\frac{1}{x}$ であり $f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$ であるから $f$ は下に凸である。

イェンセンの不等式より

$\sum_{i=1}^n x_i f(x_i) \ge f(\sum_{i=1}^n x_i \cdot x_i) \ge f(\sum_{i=1}^n x_i (1/n)) = f(1/n) = -\log(1/n)$

$\sum_{i=1}^n x_i (-\log x_i) \ge -\log (\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n}) = -\log (\frac{1}{n}) = \log n$.

$-\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log n$.

$\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \le -\log n = \log (1/n)$.

$\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log \frac{1}{n}$ を示したい。

$f(x) = x \log x$ は下に凸な関数である。

$\sum_{i=1}^n x_i = 1$ であるから、イェンセンの不等式より

$\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \left(\sum_{i=1}^n x_i \right) \log \left( \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i}\right) = \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\log \left(\sum_{i=1}^n x_i x_i\right)$

正の数 $x_1, ..., x_n$ に対して、コーシー・シュワルツの不等式 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \ge \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^n x_i)^2$が成立する。

これより $\sum_{i=1}^n x_i^2 \ge \frac{1}{n}$である。

よって、 $\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log\frac{1}{n}$ が成り立つ。

等号成立は$x_1=...=x_n=1/n$のとき。

3. 最終的な答え

(1) 全ての正の数 $x, y$ に対して、$x(\log x - \log y) \ge x - y$ が成り立ち、等号が成り立つのは $x = y$ の場合に限る。

(2) 正の数 $x_1, ..., x_n$ が $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ を満たしているとき、$\sum_{i=1}^n x_i \log x_i \ge \log \frac{1}{n}$ が成り立ち、等号が成り立つのは $x_1 = ... = x_n = \frac{1}{n}$ の場合に限る。