定積分 $\int_{0}^{2} \frac{x-2}{x^{2}-x+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{x-2}{x^{2}-x+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、まず被積分関数を部分分数分解することを試みます。しかし、$x^{2}-x+1$ は実数の範囲では因数分解できません。

そこで、次のように変形します。

$\int_{0}^{2} \frac{x-2}{x^{2}-x+1} dx = \int_{0}^{2} \frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{x^{2}-x+1} dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{2x-1}{x^{2}-x+1} dx - \frac{3}{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}-x+1} dx$

最初の積分は、$u=x^{2}-x+1$ と置換することで計算できます。$du=(2x-1)dx$ となり、積分範囲は $x=0$ のとき $u=1$、$x=2$ のとき $u=3$ となります。

$\int_{0}^{2} \frac{2x-1}{x^{2}-x+1} dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{u} du = [\ln|u|]_{1}^{3} = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$

次に、2番目の積分を計算します。

$x^{2}-x+1 = (x-\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$

$\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}-x+1} dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} dx$

ここで、$x-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ と置換します。$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta$ となり、積分範囲は $x=0$ のとき $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ より $\theta = -\frac{\pi}{6}$、$x=2$ のとき $\tan \theta = \sqrt{3}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\frac{3}{4} \tan^{2} \theta + \frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\frac{3}{4} \sec^{2} \theta} \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{3} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} [\theta]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{x-2}{x^{2}-x+1} dx = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 3 - \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$