$xy$平面上の動点P$(x, y)$の時刻$t$における座標が、 $x = \cos t + \sin t$, $y = \cos t \sin t$ で与えられている。動点Pの速さ$v$の最大値を求めよ。ただし、$v = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$ である。

1. 問題の内容

$xy$平面上の動点P$(x, y)$の時刻$t$における座標が、

$x = \cos t + \sin t$, $y = \cos t \sin t$

で与えられている。動点Pの速さ$v$の最大値を求めよ。ただし、$v = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$ である。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$を$t$で微分する。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t + \cos t$

$\frac{dy}{dt} = -\sin^2 t + \cos^2 t = \cos 2t$

次に、$v^2$を計算する。

$v^2 = (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (-\sin t + \cos t)^2 + (\cos 2t)^2$

$= \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t + \cos^2 2t$

$= 1 - 2\sin t \cos t + \cos^2 2t$

$= 1 - \sin 2t + \cos^2 2t$

$= 1 - \sin 2t + \frac{1 + \cos 4t}{2}$

$= \frac{3}{2} - \sin 2t + \frac{1}{2} \cos 4t$

$v^2$を最大にする$t$を求めるために、$v^2$を$t$で微分する。

$\frac{d(v^2)}{dt} = -2\cos 2t - 2\sin 4t = -2\cos 2t - 4\sin 2t \cos 2t = -2\cos 2t(1 + 2\sin 2t)$

$\frac{d(v^2)}{dt} = 0$ となる$t$を求める。

$\cos 2t = 0$ または $1 + 2\sin 2t = 0$

$\cos 2t = 0$ のとき、$2t = \frac{\pi}{2} + n\pi$, $t = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ ($n$は整数)

$\sin 2t = -\frac{1}{2}$ のとき、$2t = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$ または $2t = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$

$t = -\frac{\pi}{12} + n\pi$ または $t = \frac{7\pi}{12} + n\pi$ ($n$は整数)

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin 2t = \sin \frac{\pi}{2} = 1$, $\cos 2t = \cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos 4t = \cos \pi = -1$

$v^2 = \frac{3}{2} - 1 + \frac{1}{2}(-1) = \frac{3}{2} - 1 - \frac{1}{2} = 0$

$t = -\frac{\pi}{12}$ のとき、$\sin 2t = -\frac{1}{2}$, $\cos 2t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 4t = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$v^2 = \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

$v = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

$t = \frac{7\pi}{12}$ のとき、$\sin 2t = -\frac{1}{2}$, $\cos 2t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 4t = \cos(\frac{14\pi}{12}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$v^2 = \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - \frac{\sqrt{3}}{4}$

$v = \sqrt{2 - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

$t = 0$ のとき、$\sin 2t = 0$, $\cos 4t = 1$

$v^2 = \frac{3}{2} - 0 + \frac{1}{2} = 2$

$v = \sqrt{2}$

$v^2 = \frac{3}{2} - \sin 2t + \frac{1}{2}\cos 4t = 2 - \sin 2t - \sin^2 2t = -( \sin^2 2t + \sin 2t - 2) = - (\sin 2t + \frac{1}{2})^2 + 2 + \frac{1}{4} = - (\sin 2t + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

$\sin 2t = -\frac{1}{2}$ のとき、$v^2$は最大値$\frac{9}{4}$を取る。よって、$v$の最大値は$\frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$