3次関数 $f(x) = \frac{1}{3}(x^3 - 9x^2 + 23x - 15)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x) = 0$ の解の最小値と最大値、および $y = f(x)$ のグラフ上の $x$ 座標がある値である点における接線の方程式を求めます。 (2) $y = f(x)$ のグラフと接線の共有点で、$x$ 座標がある値である点をAとするとき、Aとは異なる共有点Bの座標を求めます。 (3) $y = f(x)$ のグラフ上をAからBまで移動する点P (A, Bは除く)を考え、三角形ABPの面積Sが最大となるときの面積Sを求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = \frac{1}{3}(x^3 - 9x^2 + 23x - 15)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x) = 0$ の解の最小値と最大値、および $y = f(x)$ のグラフ上の $x$ 座標がある値である点における接線の方程式を求めます。

(2) $y = f(x)$ のグラフと接線の共有点で、$x$ 座標がある値である点をAとするとき、Aとは異なる共有点Bの座標を求めます。

(3) $y = f(x)$ のグラフ上をAからBまで移動する点P (A, Bは除く)を考え、三角形ABPの面積Sが最大となるときの面積Sを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x) = 0$ を解きます。

$f(x) = \frac{1}{3}(x^3 - 9x^2 + 23x - 15) = \frac{1}{3}(x-1)(x-5)(x-3)=0$ より、$x = 1, 3, 5$。

したがって、最小値は1、最大値は5です。

$x=1$のときの $f(x)$ のグラフ上の点における接線を求めます。

$f'(x) = \frac{1}{3}(3x^2 - 18x + 23) = x^2 - 6x + \frac{23}{3}$

$f'(1) = 1 - 6 + \frac{23}{3} = -5 + \frac{23}{3} = \frac{8}{3}$

$f(1) = \frac{1}{3}(1 - 9 + 23 - 15) = \frac{1}{3}(0) = 0$

よって、点 (1, 0) における接線は、

$y - 0 = \frac{8}{3}(x - 1)$

$y = \frac{8}{3}x - \frac{8}{3}$

(2)

$x$ 座標が1である点をAとします。点Aは(1,0)です。

接線 $l: y = \frac{8}{3}x - \frac{8}{3}$ と $y = f(x)$ の共有点を求めます。

$\frac{1}{3}(x^3 - 9x^2 + 23x - 15) = \frac{8}{3}x - \frac{8}{3}$

$x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 8x - 8$

$x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$

$(x-1)(x^2 - 8x + 7) = 0$

$(x-1)(x-1)(x-7) = 0$

$x = 1, 7$

Aとは異なる共有点Bの $x$ 座標は7です。

$f(7) = \frac{1}{3}(7^3 - 9(7^2) + 23(7) - 15) = \frac{1}{3}(343 - 441 + 161 - 15) = \frac{1}{3}(48) = 16$

したがって、B(7, 16)。

(3)

三角形ABPの面積が最大となるのは、点Pにおける $y=f(x)$ の接線が直線ABと平行になるときです。

A(1, 0), B(7, 16) より、直線ABの傾きは $\frac{16 - 0}{7 - 1} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ です。

$f'(x) = x^2 - 6x + \frac{23}{3} = \frac{8}{3}$ となる $x$ を求めます。

$x^2 - 6x + \frac{15}{3} = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

$x = 1, 5$

$x=1$ は点Aなので、$x = 5$ のときを考えます。

P(5, f(5)) = (5, $\frac{1}{3}(125 - 225 + 115 - 15)$) = (5, $\frac{0}{3}$) = (5, 0)

三角形ABPの面積は、ベクトルABとベクトルAPを使って計算します。

$\vec{AB} = (7-1, 16-0) = (6, 16)$

$\vec{AP} = (5-1, 0-0) = (4, 0)$

面積 $S = \frac{1}{2} |(6)(0) - (16)(4)| = \frac{1}{2} |-64| = 32$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 5

ウ: 8

エ: 3

オ: 8

カ: 3

キ: 7

ク: 1

ケ: 6

コ: 3

サ: 2