次の定積分を求めよ： $\int_{1}^{3} x e^{x^2} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めよ：

$\int_{1}^{3} x e^{x^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分を使用します。

$u = x^2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x = 1$ のとき、$u = 1^2 = 1$

$x = 3$ のとき、$u = 3^2 = 9$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{9} e^{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} e^{u} du$

指数関数の積分は次のようになります。

$\frac{1}{2} [e^u]_{1}^{9} = \frac{1}{2} (e^9 - e^1)$

$\frac{1}{2} (e^9 - e) = \frac{e^9 - e}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^9 - e}{2}$