(1) $x > 0$ のとき、不等式 $\log x \le x - 1$ を示す。 (2) 次の極限を求める。 $$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log \left( \frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx$$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$ のとき、不等式 $\log x \le x - 1$ を示す。

(2) 次の極限を求める。

$$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log \left( \frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx$$

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = x - 1 - \log x$ を定義する。この関数の最小値を求める。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のとき。

$x < 1$ のとき $f'(x) < 0$ であり、$x > 1$ のとき $f'(x) > 0$ であるから、$x = 1$ で $f(x)$ は最小値をとる。

$f(1) = 1 - 1 - \log 1 = 0$

したがって、$f(x) \ge 0$ であり、$x - 1 - \log x \ge 0$ であるから、$\log x \le x - 1$ が成り立つ。

(2)

$I_n = n \int_1^2 \log \left( \frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx$ とおく。

$x^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n} \log x} = 1 + \frac{1}{n} \log x + O \left( \frac{1}{n^2} \right)$

$\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2} = \frac{1 + 1 + \frac{1}{n} \log x + O \left( \frac{1}{n^2} \right)}{2} = 1 + \frac{1}{2n} \log x + O \left( \frac{1}{n^2} \right)$

$\log \left( \frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) = \log \left( 1 + \frac{1}{2n} \log x + O \left( \frac{1}{n^2} \right) \right) = \frac{1}{2n} \log x + O \left( \frac{1}{n^2} \right)$

$I_n = n \int_1^2 \left( \frac{1}{2n} \log x + O \left( \frac{1}{n^2} \right) \right) dx = \int_1^2 \frac{1}{2} \log x \, dx + O \left( \frac{1}{n} \right)$

$\lim_{n \to \infty} I_n = \frac{1}{2} \int_1^2 \log x \, dx$

$\int \log x \, dx = x \log x - x + C$

$\int_1^2 \log x \, dx = [x \log x - x]_1^2 = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 - 0 + 1 = 2 \log 2 - 1$

$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log \left( \frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx = \frac{1}{2} (2 \log 2 - 1) = \log 2 - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\log x \le x - 1$

(2) $\log 2 - \frac{1}{2}$