$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 (1) $\cos 2\theta + 5\sin \theta + 2 = 0$ (2) $\sin 2\theta - \cos \theta = 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

(1) $\cos 2\theta + 5\sin \theta + 2 = 0$

(2) $\sin 2\theta - \cos \theta = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2\theta + 5\sin \theta + 2 = 0$ を解きます。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて、式を$\sin \theta$ だけの式にします。

$1 - 2\sin^2 \theta + 5\sin \theta + 2 = 0$

$-2\sin^2 \theta + 5\sin \theta + 3 = 0$

$2\sin^2 \theta - 5\sin \theta - 3 = 0$

$(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 3) = 0$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ または $\sin \theta = 3$

$\sin \theta = 3$ となる $\theta$ は存在しません。

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ です。

(2)

$\sin 2\theta - \cos \theta = 0$ を解きます。

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を用いて式を変形します。

$2\sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$

$\cos \theta (2\sin \theta - 1) = 0$

$\cos \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = 0$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi$ です。

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{2}\pi$