$y^3 = x$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $y$ を用いて表せ。ただし、$y \neq 0$とする。

1. 問題の内容

$y^3 = x$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $y$ を用いて表せ。ただし、$y \neq 0$とする。

2. 解き方の手順

まず、$y^3 = x$ を $x$ で微分します。

$3y^2 \frac{dy}{dx} = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} y^{-2}$ なので、これを $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{3} y^{-2})$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3} (-2) y^{-3} \frac{dy}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{3} y^{-3} \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{3} y^{-3} \cdot \frac{1}{3y^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{9} y^{-5}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{9y^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{9y^5}$