与えられた和 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k-1)}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k-1)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この和を計算するために、部分分数分解を利用します。$\frac{1}{(2k+1)(2k-1)}$ を $\frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$ の形に分解することを考えます。

$\frac{1}{(2k+1)(2k-1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

両辺に $(2k+1)(2k-1)$ を掛けると、

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

$1 = 2(A+B)k + (A-B)$

この式がすべての $k$ について成り立つためには、

$2(A+B) = 0$

$A-B = 1$

これらの式から、$A+B = 0$ および $A-B=1$ が得られます。これらの連立方程式を解くと、

$A = \frac{1}{2}$

$B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{(2k+1)(2k-1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

これを用いて、与えられた和を書き換えます。

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k-1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

この和はtelescoping sum（隣り合う項が打ち消しあう和）の形になっています。具体的に書き下してみると、

$\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$=\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$=\frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right)$

$=\frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)$

$=\frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k-1)} = \frac{n}{2n+1}$