$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

与えられた和を計算するために、部分分数分解を利用する。

$\frac{1}{k(k+2)}$ を部分分数に分解する。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ とおく。両辺に $k(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+2) + Bk$

$1 = (A+B)k + 2A$

この式が任意の $k$ に対して成り立つためには、

$A+B=0$ かつ $2A=1$

したがって、$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -A = -\frac{1}{2}$ である。

よって、

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{n+2+n+1}{(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{3(n+1)(n+2)-2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{1}{4} \left(\frac{3(n^2+3n+2) - 4n - 6}{(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{1}{4} \left(\frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{1}{4} \left(\frac{3n^2 + 5n}{(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$